等價無窮小極限在企業籌資方面估價中的應用推廣

摘 要：通常情況下，應用數學在我們的日常生活中都起到一定的重要作用，而我們做藥研究的這些數學鎮魂石我們在生活中的總結，亦是我們生活中智慧的集聚。因此，應用數學的價值也充分的體現在實際生活當中。如今應用數學已經具備一定的深度，并普及到環境、經濟、信息等多個領域中，使得這些行業發生了質的改變。本文正是在這樣的背景下，以等價無窮小極限為例，探討其在證券估價中的應用。

關鍵詞：等價無窮小；極限；應用推廣

一、等價無窮小的內涵

等價無窮小，也就是首先設函數f（x）在x0的某一中心領域內，或者說x大于某一正數時有定義。如果對于任意給定的正數ε，不論它多么小，總存在正數δ（或正數X），使得對于適合不等式0<|x-x’|<δ（或|x|>X）的一切x，對應的函數值f（x）都滿足不等式|f（x）|<ε，那么稱函數f（x）當x→x’（或x→∞）時為無窮小。記作limx→x’，f（x）=0（或limx→∞，f（x）=0）

一般情況下，我們所用的初等函數通常有單腳函數、反三角函數、冪函數、對數函數以及指數函數有五大類，及時在比較復雜的一些方程式中的求解也都是運用這五種函數進行運算。下面本文將這五類初等函數的無窮小進行代換：

在當x→0時：

三角函數無窮小代換有：sinx～tanx～x；1-cosx～1/2x2

冪函數無窮小代換：（1+x）a-1～ax（a可以取整數也可以取分數）；

指數函數無窮小代換：ex～x+1，ax～lna×x+1；

對數無窮小代換：ln（1+x）～x，loga（1+x）～x/；lna；

差的無窮小代換：1-cosx～x2/2，x-sinx～x3/6，tanx-x～x3/3，x-ln（1+x）～x2/2，tanx-sinx～x3/3，x-arctanx～x3/3，arcsinx-x～x3/6，arcsinx-arctanx～x3/2；前面兩個代換后為二次函數，后面代換為三次函數。而且從代換的等價無窮小方程式來看，代換的方程式明顯比前面未代換的方程式簡單得多。

二、等價無窮小極限在證券估價中的應用

1.企業籌資決策的假設

各個方面的因素都會影響企業的籌資決策，這是一個非常復雜的過程。關于這個問題的研究，我們可以對其進行一下方面的簡化：

（1）從實際的經營情況來看，企業投資是一項持續長時間甚至永久性的工作，據此，我們做一個企業籌資決策的假設，假設投資所需要的最佳資本為V0，而將付息前這項投資能夠獲得的利潤的概率分布函數定義為P（X），將其函數分布范圍定為，因此，它的期望付息前利潤為：

第二，一般性的股票融資以及永久性的債券，都是企業最普遍的融資方式。這兩種籌資方式的組合籌資所能夠獲得的資本量為V0。

第三，在企業的經營過程中，是不必保留利潤的，也就是說企業把每年所能夠獲得的利潤都分配給股票投資者；

第四，我們假設企業是處于一種穩定的經濟體系中。在這個體系中，不存在稅收風險、成本風險以及貨幣的變動風險。企業與企業投資者之間是完全透明的信息公布狀態。

第五，企業股東僅僅指那些持有原始股票的投資者，而企業的經營，是為了這些投資者與經營者創造最大的市場收益。

2.企業的籌資決策過程

通過上文的假設，企業的籌資過程就可以通過圖一、二來進行反應。其中，只是反應企業股票籌資時希望獲得的最佳利潤，它的公式可以表達為：期望付息前利潤/股票資本或最佳資本量，即

上圖中的坐標原點主要指的是企業在沒有債務融資情況下的經營風險，兩條曲線代表了兩個方面的風險：分別是企業破產的風險和股票報酬率的風險。上圖中的橫坐標d主要反映的是公司籌資過程中的債券成本D0以及股票資本S0之間的比例。公式可表示為D0/S0，其也被成為債務權益比，該比例反映的是企業采用永久性債券替代普通股票籌資的程度。見下面公式：

所以，在圖中橫坐標上的任意一個點，皆都呈現了一個問題，即企業所承擔的風險。因為舉債籌資模式所帶來的企業財務風險，就是這個點與坐標原點的差額，包括迅速上升的破產風險，以及股票報酬率可變性風險的上升。另外，有曲線r（債務市場利息率）Ke（股票市場利息率）也代表了企業總風險、單位證劵風險以及資本市場中無風險利息率的某種函數。曲線i表示了企業在舉債籌資時期望利潤率曲線；在這一曲線上的每一點i都等于期望付息前利潤扣除債券利息費用后的差額除以企業籌集的股票資本，即

上述公式有效的表達了財務杠桿的效應——（Q-r）D0/S0，而企業財務杠桿效應的最終結果，則由曲線i的變化所顯示出來。我們將得出一個公式——股票市場價值S，就等于按照股票的市場利息率資本化后期望息后利潤的現值，即

上式中明確的表現出曲線i、Ke之間的關系，我們進行分析可知，要想股東的財富增加到更大，相應的股票的市場價值與股票資本的差額△S需要取得最大值。據此可知，以曲線△S取得最大值點所對應的債務權益比d*，就是企業應該選擇的最佳資本結構。

以上的籌資決策推導過程，我們也可以看出企業債務融資的兩種效應，其一就是在企業增加債務融資的過程中，企業會相應的多承擔很多風險，這種增加也就是替代效應。這種效應表現在上圖一中就是：企業的債務權益比有增加趨勢以后，曲線r和曲線Ke也會按不同的比率增加，而且其中的任一債務權益比，都是前者低于后者。第二就是財務杠桿效應，這主要反映的是企業在進行債務籌資時，會導致企業的期望利潤上升或者下降。圖一中的曲線i，從縱坐標上的Q開始的遞減、再上升，然后走下劃線，這種走向也體現了這種效應。單從這兩種情況來看，當股東的成本低于股東收益時，股東的財富就會有所上升，反之就會下降，當然在股東的成本與股東收益相等時，那么股東財富便不會增加也不會減少。因此，以資本市場上的參數為約束條件， 企業籌資決策的目標就是在股東成本低于股東收益的基礎上，實現股東財富的最大化。

3.企業價值曲線的變化趨勢

一般情況下，我們認為債權的市場機制也就等于債權利息的資本化，即

上式中D為債券的市場價值，D′0代表的是債券的票面價值，而r0即為票面利息率，r則表示債券市場利息率。

企業在規劃債券的發行時，債券本身的票面價值可以反應出企業籌集的債券資本，同樣的，企業債券票面價值的利息率可以反應債券的市場利息。

因此，企業的債券利息費用（每年只支付一次）D′0r0就等于前面所述的D0r，也就是債券的市場價值約等于企業籌集的債券資本，即

企業價值V，就等于債券與股票的市場價值相加的和，即V=S+D。根據式（2）、式（5）和式（6），得V=S-S0+D+S0=△S+D0+S0=△S+V0。由此推斷可知兩條信息，圖二曲線V的變化趨勢可由曲線△S加上一條表示最佳資本量的直線V0來確定，也就是說，企業價值與股票增值之間相差一個由投資決定的最佳資本量。另外，我們可以看出實際上企業價值最大化等價于股票增值最大化，這兩種數值都可以作為決策標準來衡量企業的最佳資本結構。

參考文獻：

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[2]陸晶.等價無窮小在求函數極限中的應用與推廣[J].硅谷，2008，（12）：120—121.

[3]屈紅萍，趙文燕.等價無窮小代換求極限的方法推廣[J].保山學院學報，2011（2）：54一57.

作者簡介：孫玉希（1992- ），女，山東青島人，專業：數學與應用數學