指數加權滑動平均控制圖與自回歸模型的實例應用

摘要：統計過程中的控制圖如今已經成為質量管理中一種不可缺少的工具，已經成為一種控制的潮流和方法，它的中心思想就是預防為主，第一次就把事情做對，消除一些變異的因素和區分兩種不同性質的波動。經過對大量文獻的認真研究和學習，關于統計過程中的控制圖，所提出的是假定過程均值不變等條件下，通過軸承的半徑分析，用指數加權平均的控制方法來處理相關問題。目前為止還沒有將其與常規控制圖整合在一起，因此通過其與回歸模型的方法相建立，來解決實際中的問題。

關鍵詞：指數加權滑動平均（EWMA）；控制圖；自回歸模型

中圖分類號：F0文獻標志碼：A文章編號：1673-291X（2014）16-0010-03

1924年，休哈特在美國貝爾實驗室第一次發明質量控制圖的概念，經過數年的發展已經逐漸成為質量工作管理中不可缺少的工具之一，過程控制是為了貫徹預防為主，在統計過程控制中，利用休哈特常規控制圖時，我們總是假定過程均值不變，同時隨機誤差獨立同分布，服從均值為0、方差為σ2的正態分布。但在實際應用中，這些前提假設是很難實現的，無法獲得相應的數據，許多過程中都存在自相關的現象，獨立性也很難成立。這就使得常規控制圖方法難以繼續使用。這時可以用指數加權滑動平均（EWMA）控制圖方法處理相關的問題。可以用時間序列對于自相關過程的觀測值進行適當的擬合，得出模型，再用其預測值、殘差來構造控制圖。本文通過具體數據分別做指數加權滑動平均、自回歸模型擬合及常規控制圖，通過實際得到的圖形簡單地做了比較。

一、指數加權滑動平均（EWMA）控制圖

EWMA控制圖上的點包含了所有前面子組的信息，它能探測過程的微小漂移。EWMA控制圖同樣適用于單個觀測值的情況。由前所訴，EWMA 控制圖不受過程均值不變，同時隨機誤差獨立同分布，服從均值為0、方差為σ2的正態分布等條件限制，常用于處理序列數據。在EWMA控制圖中繪制的統計量為當前值與歷史數據的加權平均，即

Zt=λxt+（1-λ）Zt-1

對于比較大的t，當{xt}獨立同分布，服從均值為μ、方差為σ2的正態分布時，樣本統計Zt量近似服從正態分布，且

E（Zt）=μ，Var（Zt）=σ2

[1-（1-λ）2t]

隨著t的增大，[1-（1-λ）2t]趨近于1。

繪制EWMA控制圖時，要求給定權重λ。（1-λ）表示EWMA對歷史測量值的權重，若（1-λ）越大（λ越小）表示歷史對于現在的影響越重。權重λ決定了EWMA對于當前數據突然發生變化的能力，具有時效性。λ越小，時效性不強，則Zt的時間序列圖更加平穩。EWMA 控制圖的優點就是，當較小值或較大值進入計算時不會嚴重影響到這些控制圖。對于權重λ的選取，Montgomery（1991）推薦使用0.05<<λ<<0.25。一般λ常取0.08，0.10，0.15，更要根據實際情況而定。

下面給出具體例子。數據來源（見參考文獻[1]中例3.6.4）。此例是單個觀測值的情況，給出了不同時間測得的50個凸輪軸的軸承直徑。給定權重λ值為0.2，用指數加權滑動平均的公式，具體得到Zt的值（初始值Z0=x0）。

Zt=0.2xt+（1-0.2）Zt-1

將目標值50作為μ的估計（此處是以起點時間初始值50作為μ的估計），對上述數據做EWMA控制圖（如下頁圖1所示）。

從該圖可以看到控制限在第11個樣本開始穩定。從EWMA控制圖上可看出，樣本點對目標值50的漂移。

二、自回歸模型（auto regression model，AR）

自回歸（AR（n））模型是時間序列ARMA中的一種特例，即ARMA（n，0）只有自回歸部分，沒有移動平均部分。其實ARMA模型才是更一般的平穩的時間序列模型，只是由于文中例子的數據模擬后得到模型，便以此說明比較。對于后面所說得到AR（n）模型，求出預測值和殘差均是基于AR（n）模型。對于一般的ARMA模型，同理亦可操作。

對于時間序列AR（n）模型具有如下一般結構：

xt=#981;0+#981;1xt-1+#981;2xt-2+…+#981;nxt-n+εt

E（εt）=0，Var（εt）=σ2

ε，E（εtεs）=0，s≠t

E（εtxs）=0，#8704;s

對于本文數據，作出軸承直徑數據的自相關圖與偏自相關圖分別（見下頁圖2、圖3）。

可以看出大致的自相關圖是拖尾的，偏自相關圖時1階截尾的，由ARMA模型的判別條件符合模型AR（1）。擬合AR（1）模型：

xt=#981;0+#981;1xt-1+εt

通過顯著性檢驗，延遲各階的LB統計量的P值均顯著大于0.05，殘差通過白噪聲檢驗，所以該擬合模型顯著成立。得到AR（1）模型為：

（xt-48.55）=0.74（xt-1-48.55）+εt

xt=12.62+0.74xt-1+εt

以此模型做預測值，用測量值減去預測值得到殘差r。下圖給出觀測值（●）、預測值（*）、95%上下限（——）：

三、基于AR模型所得殘差做指數加權滑動平均（EWMA）控制圖

由于時間序列的預測值和觀測值之間的殘差可以極大地弱化過程的自相關性，并可以近似認為各個時刻的殘差都是相互獨立的，因此可以采用一般的各種控制圖方法進行監控。在此，用上述所得的殘差做EWMA控制圖（見圖5），（取目標值為1.444是對應于初始值50的殘差值）

四、軸承直徑的EWMA控制圖對比其殘差的EWMA控制圖

對比軸承直徑的EWMA控制圖（見上頁圖1）和殘差EWMA控制圖（見圖4），兩圖的曲線波動輪廓一致，但是軸承直徑的EWMA控制圖漂移幅度幅度遠大于殘差EWMA控制圖。殘差的 EWMA控制圖對于目標值的漂移超出控制限的值的個數少于軸承直徑的EWMA控制圖。可見軸承直徑的EWMA控制圖要比殘差EWMA控制圖更靈敏。但是軸承直徑在本例中是自相關的，而殘差是獨立的。對于存在自相關，超出控制限的值對于其附近時間點值的的影響較大，所以連帶一片的值都會超出控制限。

五、總結

EWMA控制圖，不受正態假定的限定，圖上的每個點包含著前面所有子組的信息，具有檢出過程目標值小漂移的敏感性。對于時間序列來說，除了EWMA控制圖，本文還用的擬合出時間序列模型，求出預測值、殘差，再用殘差作EWMA控制圖。

參考文獻：

[1]周紀薌，茆詩松.質量管理統計方法(第2版)[M].北京：中國統計出版社，2008.

[2]王燕.應用時間序列分析(第3版)[M].北京：中國人民大學出版社，2012.

[3]王海宇，等.平穩自相關過程的EWMA控制圖[J].工業工程，2006，(3).

[4]崔敬巍，謝里陽.自相關過程的統計控制方法研究[J].機械制造，2006，(9).

[責任編輯 吳高君]

收稿日期：2014-03-08

作者簡介：魏關軍（1976-），男，河南潢川人，質量經理，碩士研究生，從事質量管理研究。