數學物理方程課程教學的幾點體會

摘 要 數學物理方程是許多理工科專業的一門重要基礎課程，對提升學生的科學素質有深遠意義。在教學實踐中，作者圍繞調動學生學習積極性、提高教學質量、培養學生能力，不斷探索教學教法、總結經驗。在本文中，就教學內容、教學方法和教學手段等方面總結了幾點體會。

關鍵詞 數學物理方程 教學實踐 教學方法 教學效果

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A

Abstract \"Mathematical physics equations\" many science and engineering is an important foundation for professional courses to enhance students' scientific quality has far-reaching significance. In teaching practice， the authors focus on mobilizing the enthusiasm of students， improve the quality of teaching students the ability to continuously explore teaching teachings， lessons learned. In this article， the terms of teaching content， teaching methods and teaching methods， etc. Some experience summarized.

Key words Mathematical Physics Equations； teaching practice； teaching methods； teaching effects

數學物理方程是從物理問題中導出的反映客觀物理量在空間和時間上相互制約關系的偏微分方程（有時也包括常微分方程和積分方程），是物理過程的數學表達式。①眾多理工學科的本質問題都可歸屬于對相應的數學物理方程的研究，因此，數學物理方程是理工專業的一門重要的基礎課和必修課。該課程以偏微分方程作為研究對象，把數學理論、求解方法和物理實際緊密融合在一起。通過應用物理定律對實際的物理問題建立數學模型，培養學生用數學語言描述物理問題的能力；通過學習典型的數學物理方程的求解，為學生儲備解決實際物理問題的數學技能；通過對數學過程和物理意義的深入剖析，讓學生體會到形式與內容的統一、科學內在的美。因而，這門課程的開設，不僅為后續專業課的學習奠定了必要的數學知識，而且提升了學生的數學物理素質，對學生將來進一步開展科學研究具有重要而深遠的意義。然而，由于課程不僅涉及知識面廣，包含了高等數學、線性代數、復變函數、常微分方程、積分變換、和物理學中力熱光電等知識，而且有大量的繁瑣數學推導，求解結果通常又是復雜的級數或者積分形式，其中又使用了三角函數或者特殊函數來表示，往往讓學生倍感枯燥、產生畏懼情緒，是一門公認的較難課程。尤其對我們電信院學生來說，這門難學課程又是學習后續的電波傳播、電磁場理論、微波技術等其它幾門公認難學課程的起點和基石，教師教好這門課程、學生學好這門課程顯得尤為重要。如何改進教學教法，提高學生學習的興趣，調動學生學習的能動性，是教師所面臨的一項重要課題。筆者借鑒他人的教改經驗，在教學實踐中，從教學內容、教學方法和教學手段等多方面進行了一些有益探索，并取得了良好的教學效果。

1 突出教學重點和注意教學方法

數學物理方程這門課程具有內容多、難度大，而課時較少的特點，這就需要教師根據教學目的和教學要求全面把握教學內容、突出教學重點。該課程的主要內容是具有典型意義的三類偏微分方程的建立，以及分離變量法、行波法、積分變換法和格林函數法幾種典型的求解方法，因此，教師教學需要圍繞這些內容展開，突出教學重點，讓學生在學習三類方程建立和求解的過程中來逐漸掌握偏微分方程的基本理論。

注意循序漸進安排教學內容，便于學生對知識的理解和掌握，可以取得事半功倍的效果。例如，講解利用分離變量法求解兩端固定弦的自由振動方程后，可以引導學生思考，這種方法是否也能求解熱傳導方程和拉普拉斯方程？通過適當練習，學生能夠掌握具有第一類其次邊界條件的偏微分方程的分離變量解法。再進一步引導學生思考，如果是第二類和第三類邊界條件，利用分離變量法求解，解的形式會是怎樣？經過分析和練習，學生能夠舉一反三，熟練掌握分離變量法，并能深刻理解本征函數。在此基礎上，學習非齊次方程求解時，學生很容易地聯想到本征值和本征函數，培養了學生應用知識的能力。

注意前后知識點的內在邏輯性、突出知識體系的連續性和系統性，有利于學生形成自己的知識結構。學生在學習兩類特殊函數時，容易迷失在繁瑣的數學推導中。授課時，我們結合簡單的專業研究現象來引導學生，對于大家常見的柱狀天線和球形天線，假如它們發射的電波滿足前面所學的第一、二或三類邊界條件，該如何進行分離變量求解從而知道電波的傳播和分布呢？從而很自然引入球坐標系和柱坐標系下偏微分方程的表達形式，并類比前面所學知識，進行變量分離，對每個分離后的微分方程尋找本征函數，勒讓德多項式和貝塞爾函數分別是相應微分方程的本征函數而已。這樣，通過分離變量和本征函數的數學和物理思想，把前后知識融為一體，讓學生把厚書讀薄，牢固掌握。

注意知識的歸納總結，增強學生分析和解決問題的能力。盡管該課程教學課時緊，但是花少許時間對所學知識進行歸納和歸納總結，會產生良好的教學效果。在教學的不同階段，可就三類方程、或者四種求解方法、或者不同的類型邊界條件、或者不同坐標系下解的特點的角度，分別進行對比總結，提高學生的分辨能力和求解技能。再如，在教學中，我們發現有部分學生容易把球坐標系中軸對稱靜態問題和柱坐標系中圓域的Dirichlet問題容易混淆，經過教學總結，考試檢查中幾乎不再有學生犯這類錯誤了。

2 數學過程和物理意義并重

數學物理方程的教學中，肯定避免不了繁多的數學推導和冗長的求解過程，然而，如果教師僅限于清楚講授數學過程和數學技巧，可能會使學生感到枯燥，失去對這門課程的好奇心和學習的興趣，尤其是在授課的早期階段、學生剛學習這門課程的時候。在教學過程中，注重從實際物理問題出發，利用物理規律和物理背景建立起數學物理方程，而且闡明數學過程和數學結果中的物理含義，從而使學生從數學的抽象思維中獲得感性的認識，便于學生理解，讓這門課程真正起到培養學生利用數學知識解決實際物理問題的能力的作用。

在教學過程中，我們結合學生專業特點以及可能繼續攻博的情況，深化了物理過程和物理意義的教學，注重理論學習聯系實際應用。例如，面對眾多Fourier變化性質，我們逐一解釋在電路、電波和通訊領域的應用，學生都表現出濃厚的興趣，能很快理解和掌握這些性質。對于包括自然邊界條件在內的各類邊界條件，闡明在電磁場研究中的具體形式及其物理含義，并明確告訴學生，后續學習的電波理論和微波技術等課程，實質上就是求解Maxwell偏微分方程組在不同初始條件和邊界條件下的解。結合球形天線和柱形天線，以及電波在大氣中的Mie散射等實際問題，讓學生認識到為什么要在球坐標系下和柱坐標系下研究數學物理方程以及研究的重要性。對于方程的級數解和積分解等各種形式解的物理意義，我們都不惜深究，同時，向學生指明，這種從實際物理問題到數學建模求解，再從方程數學解回到實際的物理世界和物理意義的研究模式，實際上也是未來大家做學問的常用模式，不僅要習慣這種研究模式，而且要善于運用這種研究模式。通過這種結合物理、聯系實際的教學，我們感到學生沒有被大量的數學推導模糊視野，非常熱愛學習這門課程，下課后經常有大量的學生圍繞教師饒有興趣地開展討論，久久不愿離去。

在教學中，我們注重厘清數學和物理的內在關系，讓學生認識到該課程所體現的數學和物理的高度統一。例如，客觀上，物理量的演變不僅受到物理規律的支配，還與物理量在周圍空間分布和上一時刻狀態有關，對應于數學上，描述為偏微分方程和邊界條件、初始條件。再如，對初學分離變量法求解兩端固定弦自由振動方程獲得的級數解的深入分析。振動產生波，波是大家熟知的物質世界的一種運動形式。對于兩端固定的弦，弦的長度、線密度等固有因素，決定了弦振動的快慢即波動周期；同時，波速取決于介質屬性，或者說弦的固有因素也決定了波速，這就意味著波長也是確定的；表示波動的數學形式是三角函數，用數學語言來說，就是方程的本征值和本征函數是確定的。那么，對于弦振動方程的求解，實質上就是要確定弦中允許存在的一系列波譜成分的強度，具體由弦初始位移和初始速度中相應譜成分決定，換成數學語言，解是三角函數的級數和，要計算的就是三角函數的系數，具體值由兩個初始條件做Fourier級數展開求得。因此，是客觀世界的運動特征決定了解的數學表達形式，或者說，解的數學表達形式是對客觀世界運動特征的恰當描述。對非齊次邊界條件和非齊次方程的解、達朗貝爾解、積分解等各種形式的解，做類似的數學和物理分析，從而，引導學生認識到，偏微分方程的求解通常是很困難的，一般很難找到一個較簡單的解析式解，我們的求解過程是物理和數學的高度統一，是數學和物理的和諧美，培養學生的鑒賞能力、科學素養和學習激情。

3 傳統和現代教學手段并用

教學過程，在傳統的粉筆板書的基礎上，靈活采用多種現代化教學手段，提高教學效果。傳統的板書教學方式，推導過程清楚直觀，便于對重難點進行突破。雖然授課速度較慢，但對于接受新知識的學生來說，留有較充足的時間思考，印象深刻，便于課堂上消化所學知識。在課堂教學中，我們仍然以傳統的黑板板書為主要教學方式，繼續發揮傳統教學方式的優勢。此外，盡管是大學教學，黑板板書也應該盡量避免隨意性，對板書內容和板書模式、課前根據教學內容和要求做好精心設計，條理清晰，利于學生學習。

同時，靈活應用現代化的多媒體手段進行輔助教學。對于一些背景知識、歸納總結、非重點教學內容的定理和推導、以及部分教師擴展的教學內容，適合電子課件教學。充分利用Matlab和Maple等教學軟件，②發揮多媒體聲、圖和動畫視頻等優勢，把物理情景和物理過程形象地展示出來，既豐富了課堂，又加深了學生的理解。而且，我們鼓勵學生自己動手編程，對物理過程進行分和仿真，例如，有學生用動畫展示和比較了弦振動方程在三類邊界條件下的解，有學生成功模擬了柱坐標系中柱面波的傳播、反射和衍射等現象。現代化的教學手段，深受學生歡迎。

總之，充分認識到數學物理方程這門課程的重要性，根據課程的特點，在教學實踐中，我們始終以夯實學生基礎、培養學生能力為目標，在激發學生學習興趣、提升教學質量上下足功夫，不斷探索和總結教學方法，取得了良好的成績。時代在發展，社會在進步，知識在更新，教學無止境，需要我們教師相互學習、相互探討，堅持教學改革，為培養優秀人才而不斷努力。

注釋

① 姚端正，梁家寶.數學物理方法（第二版）.武漢大學出版社，1997.

② 彭芳麟.數學物理方程的MATLAB解法與可視化.清華大學出版社，2004.