例說三角形中的分類討論

三角形是平面幾何中最簡單、最基本的圖形.這類問題中，有時不給出幾何圖形，因而生成很多不確定的因素，導致學生在解答此類問題時遇到一些困難，不知道怎么入手，怎么分類討論，從而解答不完整.為了幫助學生渡過這個難關，現(xiàn)將有關三角形中需要分類討論的情況歸納總結如下，供學生學習參考.

一、在等腰三角形中的分類討論

當?shù)妊切沃醒蝽斀遣淮_定時，需要分類討論；當遇上腰上的高線、中線、中垂線時，需要分類討論；當找點構造等腰三角形時，也需要分類討論.

例1：在△ABC中，AB=AC，AB的中垂線與AC所在直線相交所得銳角為20°，則底角∠B=？搖？搖？搖？搖.

解：當交點在腰AC上時，△ABC為銳角三角形，此時∠A=20°，

所以底角B為80°或35°.

評析：因為AB的中垂線與AC所在直線相交所得銳角為20°，引發(fā)討論，所以分兩種情況：一種情況是，當AB的中垂線與AC所在直線相交，交點在腰AC上.另一種情況是，交點在腰CA的延長線上.

例2：在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A（1，1），在坐標軸上確定一點D，使得△AOD為等腰三角形，求所有符合條件的點D的坐標.

評析：由△AOD為等腰三角形知，該三角形的頂角或腰都不確定，所以引發(fā)討論，分三種情況討論，即：以O為頂點；以A為頂點；以D為頂點（以OA為底）.

二、在直角三角形中，直角邊和斜邊不確定時，需要分類討論

例3：在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A（-2，-1），在坐標軸上確定一點D，使得△AOD為直角三角形，求所有符合條件的點D的坐標.

解：當∠AOD=90°時，符合條件的點D不存在；

當∠ADO=90°時，以OA的中點為圓心，以AO的長度為半徑作圓Q，

評析：由△AOD為直角三角形知，該三角形的直角頂點角不確定，所以引發(fā)討論，分三種情況討論，即：以O為直角頂點；以A為直角頂點；以D為直角頂點。

三、在相似三角形中，對應角或對應邊不確定時，需要分類討論

當兩個相似三角形的對應關系不確定時，應從對應點、對應角或對應邊的角度，討論各種可能的對應關系.

例4：已知AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，點P在BD上由點B向點D運動，當點P運動到離點B多遠時，△ABP與以C，P，D為頂點的三角形相似？

所以，BP分別等于2cm，12cm，8.4cm時，△ABP與以C，P，D為頂點的三角形相似.

解得BP=8.4cm.

評析：由△ABP與以C，P，D為頂點的三角形相似知，該相似三角形的對應角不確定，所以引發(fā)討論，分兩種情況討論，即：∠A=∠CPD；∠A=∠C.

分類討論是中學數(shù)學中常用的一種數(shù)學思想方法.通過分類，可以把一個復雜的問題分解成若干個相對簡單明了的問題.因此，我們在解答問題時，要認真審題，全面考慮當條件或結論不唯一時會產(chǎn)生幾種可能性，對各種可能性進行分類討論，做到不重不漏，條理清晰.分類討論一般分三個步驟：首先確定討論的對象；其次針對討論對象進行合理的分類；最后歸納討論結果，綜合得出結論。為了保證分類討論的科學性和合理性，分類應做到不重不漏，運用分類的思想，進行正確的分類，使復雜的問題得到清晰、完整、嚴密的解答.分類的過程可以培養(yǎng)學生思維的條理性、縝密性、靈活性，而分類討論又可以進一步提高學生研究問題、探索規(guī)律的能力.