小型制導炸彈的質量質心計算方法

摘要：為掌握小型制導炸彈全彈質量和軸向質心的變化范圍，應用合力投影定理和合力矩定理，得出全彈質量質心函數方程，分析了極值法和蒙特卡羅法計算質量質心偏差的可行性，并通過蒙特卡羅法對小型制導炸彈的質量質心進行計算。分析和計算結果表明，采用極值法求解質心偏差最大值的難度較大，而蒙特卡羅法基于各參數在偏差范圍內呈正態概率分布，能夠更真實地描述全彈質量質心的偏差范圍。

關鍵詞：小型制導炸彈；質量計算；質心計算；蒙特卡羅法

中圖分類號：TJ760，3：TJ414 文獻標識碼：A 文章編號：1673-5048（2014）02-0016-03

0、引言

小型制導炸彈以其重量輕、體積小、成本低、作戰效能高的特點，逐漸得到了世界各國的廣泛關注。相對于500公斤級和250公斤級制導炸彈，小型制導炸彈的戰斗部威力較小，需要較高的制導精度才能實現其作戰能力。

質量和質心作為小型制導炸彈的基本物理特性參數，是控制系統設計的重要輸入。通常，在研制初期，通過全彈質量質心的估算為控制系統設計提供原始輸入；在研制末期，控制系統的修正則通過整彈物理樣機質量質心的實際測量實現，而受物理樣機樣本數量的限制，不能真實地獲取制導炸彈產品質量質心的變化范圍，仍需要根據各組件的實際狀態進行全彈質量質心的計算。因此全彈質量質心的計算貫穿于整個研制階段，質量質心偏差的計算精度則直接影響到控制系統的制導精度。

1、全彈質量質心偏差計算方法

1.1 全彈質量質心函數方程

本文以某小型制導炸彈結構布局方案為例，建立其全彈質量質心方程。

方案中，該小型制導炸彈主要由一艙、引戰艙、飛控組件、二艙結構件、數據鏈組件和舵機艙等部分組成，如圖1所示。其中，一艙、引戰艙和舵機艙為單獨形成艙段的組件：二艙結構件包含艙段殼體、內部支架和外部翼面等零件；飛控組件和數據鏈組件則安裝于二艙艙段殼體內部。

如圖1所示，可假設：

a.沿x軸正方向，各組件的質量依次為m₁，m₂，…，m_n；

b.沿x軸正方向，各組件質心在x軸的投影距離本組件前端面的距離依次為l₁，l₂，…，l_n；

c，沿x軸正方向，各組件前端面距離彈體前端面的距離依次為L₁，L₂，…，L_n。

通過上述參數假設，根據合力投影定理和合力矩定理，可得出全彈的質量質心函數方程：式中：M和L分別為全彈的質量和軸向質心位置。

1.2 質量質心偏差產生的原因

在各組件的裝配過程中，結構零件的加工誤差、元器件的制造誤差和輔助性材料的非定量使用，均會導致組件的質量質心偏離設計值。

全彈在總體裝配過程中，各艙段間的連接誤差和艙段內相關組件的安裝誤差均會影響全彈質量質心的偏移量。

綜上，全彈質量質心發生偏差的主要因素有各組件的質量質心偏差、各艙段間的連接誤差和艙段內相關組件的安裝誤差。

通常，各組件的質量質心偏差量可由組件研制任務書或設計人員提供：艙段連接誤差和艙段內組件的安裝誤差可由總體結構設計人員提供。

目前，根據公式（1），計算全彈質量質心最大偏差AM，AL的方法可選擇極值法和蒙特卡羅法。

1.3 極值法計算質量質心偏差

極值法通過采用極端假設的方式可以將某些多元函數問題簡單化，是一種重要的數學思想和分析方法。

對于公式（1）中的f（m_i）函數，m_i均取最大值時，即可求得

式中：△m_i為沿x軸正方向，第i個組件的質量偏差最大值。

對于公式（1）中的g（m_i，l_i，L_i）函數，分子取最大值時，需m_i，l_i，L_i均取最大值，此時函數分母也相應變化為最大值。兩最大值相除不能判斷其結果的最值，因此，無法確定g（m_i，l_i，L_i）函數的最值。可見，極值法可以有效地計算出全彈質量偏差最大值，但不能計算出全彈質心偏差最大值。

1.4 蒙特卡羅法計算質量質心偏差

蒙特卡羅法又稱統計模擬法、隨機抽樣技術，是一種隨機模擬方法，是以概率和統計理論方法為基礎的一種計算方法，是使用隨機數或偽隨機數來解決很多計算問題的方法。將所求解的問題同一定的概率模型相聯系，用計算機實現統計模擬或抽樣，以獲得問題的近似解。

蒙特卡羅法計算全彈質量質心偏差的過程可分為三個步驟：

a.確定各變量的分布函數。通過前面的分析可知，影響m_i，l_i，L_i的因素主要為結構零件的加工誤差、元器件的制造誤差和輔助性材料的非定量使用。實際工程計算過程中，上述因素可視為相互獨立，且分布函數服從正態分布，因此可認為m_i，l_i，L_i，f（m_i）和g（m_i，l_i，L_i）的分布函數同樣服從正態分布。

b.產生隨機數并抽樣。蒙特卡羅法需要大量的樣本，因此可在（0，1）區間內產生大量的服從均勻分布的隨機數，并將其轉換為服從正態分布的m_i，l_i，L_i樣本。

c.將抽樣樣本代入公式（1）計算，并統計計算結果。通過計算，可以獲得大量的全彈質量和質心數據，對其進行統計分析可以得到均值、方差等統計量，最后對結果進行評判分析。

綜上，蒙特卡羅法能夠模擬全彈質量質心偏差的近似解，并且隨著抽樣次數的增加，求解精度逐漸提高。

2、蒙特卡羅法計算實例

以某小型制導炸彈方案為例，通過在MAT-LAB軟件中編譯程序，可以實現全彈質量質心偏差的蒙特卡羅法計算，其程序計算的流程圖如圖2所示，相關計算參數如表1所示。

選取5000，10000，20000，50000，100000和200000等6種抽樣次數對全彈質量質心進行仿真計算。計算結果見表2。

表2中，μ為數學期望，即為各統計樣本值的平均值，σ²為方差，即為各統計樣本值相對于μ的離散程度。對于正態分布函數，可以認為，各統計樣本是以999937%的概率位于（μ-4σ，μ+4σ）之間。

由表2可知，當抽樣次數達到50000次時，計算精度已經能夠滿足方案要求，并且全彈質量以99.9937%的概率位于（118.29，121.71）kg之間，全彈質心以99.9937%的概率位于（996.2，1020.4）mm之間，可以認為通過蒙特卡羅法獲得的全彈質量為120±1.71 kg，全彈質心為1008.3±12.1 mm。

將m_i，f_i，L_i值分別代入公式（1）和（2），可獲得全彈質量理論值為120 kg、全彈質心理論值為1008.3 mm以及全彈質量偏差最大值的極值法解為2.55 kg。

通過對比可知，采用極值法計算得到的全彈質量偏差最大值近于小概率事件，而蒙特卡羅法更符合實際情況。

通過上述方法，可在方案研制初期，根據計算結果合理地調整、分配各組件的質量質心偏差和艙段殼體零件的公差，使其滿足給定的全彈質量質心范圍要求。

3、結論

為掌握全彈質量和軸向質心的變化范圍，本文對某小型制導炸彈結構布局方案進行了研究：建立了全彈質量質心函數方程，分析了極值法和蒙特卡羅法計算質量質心偏差的可行性，并進行了實例計算。通過分析和計算，可以得到如下結論：

（1）極值法可以有效地計算出全彈質量偏差最大值，但不能計算出全彈質心偏差最大值；

（2）極值法計算的全彈質量偏差最大值近于小概率事件，難以反映客觀實際：

（3）蒙特卡羅法作為一種統計試驗方法，基于各參數在偏差范圍內呈正態概率分布的事實，能夠更真實地描述全彈質量質心的偏差范圍：

（4）在小型制導炸彈的方案研制初期，可以根據蒙特卡羅法的計算結果合理地調整、分配各組件的質量質心偏差和艙段殼體零件的公差，使其滿足給定的全彈質量質心范圍要求。