新課改背景下中學數學建模教學

【摘 要】隨著我國基礎教育課程改革的不斷深入，我們廣大的教育工作者面臨著實踐更多新的教育理念和教育模式。作為一種新的認知理論，誕生于20世紀的建構主義學習理論對我國新課程改革產生了積極的影響。學生“學習方式的轉變”是本次課程改革的顯著特征。教育部于2003年4月制定了《普通高中數學課程標準（實驗）》，第一次對關于在普通高中開展數學建模教學和相關活動做出了詳細的規定，這充分說明數學建模的腳步已經邁入了中學課堂的門檻。

【關鍵詞】新課改 數學模型 中學數學建模教學

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）02-0118-03

一 中學數學建模概述

1.數學模型的定義及分類

根據全國科學技術名詞審定委員會的審定公布，我們把數學模型定義為：數學模型是把對研究對象觀察到的一系列結果和實踐經驗，總結成一套能反映其內部因素數量關系的數學公式、邏輯準則和相關算法。這些公式、準則和算法是拿來描述和研究客觀現象的規律。

我們根據不同的分類方式，把數學模型分成很多種，常見的一些種類有：（1）數學模型根據模型應用的領域不同，可以劃分為人口模型、交通模型、污染模型等。（2）數學模型根據建立模型的數學方法不同，可以劃分為數學模型、幾何模型、微分方程模型等。目前，我國大多數的教學用書中提到的數學建模的分類編排都是按照上面的標準來進行的。（3）數學模型根據表現特性的不同，考慮到數學模型中是否受到隨機變量的影響，把數學模型分為確定性模型和隨機性模型。進入21世紀以后，由于數學研究和數學模型在廣度和深度的不斷發展，近幾年來還出現了突變性模型和模糊性模型、靜態模型和動態模型、線性模型及非線性模型等。（4）根據數學模型建模目的的不同，分為描述模型、預報模型、優化模型、控制模型等。

2.中學數學建模教學概述

數學建模教學主要是針對過去中學數學教育內容過于抽象化，對數學知識和學生實際日常生活的聯系不緊密問題而提出的。數學建模要求學生對日常生活和社會中遇到的實際問題先進行抽象化，然后建立數學模型，最后求解得出最優模型。即建模、解模的過程，如圖1所示。

圖1

二 中學數學建模教學

1.建模問題的合理性

考慮到中學階段學生的知識水平有限和中學數學的教學大綱規定，我們把中學數學建模教學的主要內容進行恰當的調整。首先，應當適當縮小中學數學建模教學的選題范圍，通常我們考慮的是函數（構建函數關系）、不等式組、數列、幾何和求最值等幾個方面。其次，在教學方法上也力求通過計算機技術輔助教學，增強其新穎性和趣味性。

2.中學數學建模教學常用的方法

第一，理論分析法。這是一種在中學數學建模教學中經常用到的方法。它具體是指：（1）對所要建立模型的問題各種變量與常量進行分析和界定范圍；（2）運用我們已經公認的，如數學、物理等學科中被普遍證明的原理、定理和推論，建立合理的數學模型；（3）利用數學理論推導問題的解決方法。

第二，模擬法。這是一種在現實中通過對模擬的數學模型進行反復試驗，從而達到解決問題的目的。構建模擬的數學模型，就是要運用數學知識找到一種結構和性質與建模問題主要結構和性質相同的模型。如報童賣報問題就可以用隨機模擬思想解決。

第三，函數擬合法。這是一種在處理離散型數據時使用最多的方法。（1）我們依據題目所給出的初始數據，在直角坐標系上描出相對應的各個點；（2）依據各個點的分布情況，用圓滑的曲線描繪出大致圖形；（3）根據圖像大致擬合成相應的直線或圓錐曲線，并通過相應的關鍵點求解出此圖像的函數關系式，這就是所要建立起來的數學模型。如我們通過一次函數、二次函數、指數函數、冪函數擬合某個工廠產量、某件產品的銷量、人口增長率等，解決日常生產生活中的問題。

三 中學數學建模教學的教學方式

1.立足教材基本知識點，培養學生的趣味

由于我國的數學教材普遍存在知識理論性強，但缺乏在實際生活中的可運用性。很多學生甚至家長認為只要不是想成為數學家，離開校園工作后，數學僅僅拿來會上街買菜算賬就夠了。于是，大多數學生都是為了成績而學數學，根本不知道數學可以提高自己日后的管理能力和問題的解決能力。

在提倡素質教育的今天，我們可以通過多種方式提高學生對數學問題的興趣。如改變設問方式、變換題設條件，把教材中出現的應用問題拓寬成新的數學建模應用問題。對于教材中的一些純理論數學問題，我們可以從科學性、現實性、新穎性、趣味性、可行性等原則出發，編制出一套有一定實際背景或應用價值的數學建模問題。按照以上的方式組織教學活動，能大大地培養起學生對數學知識的應用能力。

如在講授高中數學必修5第一章等比數列，等比數列求和公式及應用這一節課時，教師向學生講述這樣一個實例。

教師：傳說在古代印度有這樣一個國王很喜歡下象棋。某天，一位棋藝很高超的棋手和國王對弈，國王得意洋洋地說：“如果你贏了我，你的任何要求我都會滿足。”經過一番搏殺，國王輸了。棋手慢慢地說道：“陛下只需要派人用麥粒填滿象棋棋盤上的空格，第1格1粒，第2格2粒……以后每格是前一格粒數的2倍。”國王笑著說道：“這個獎勵太容易辦到了。”于是，他立即命令下面的官員辦理。過了數天，官員慌張地報告國王：“大事不好了，如果這樣下去，印度近幾十年生產的所有麥子加起來都還不夠。”

學生個個都露出了詫異的表情。通過這個例子，極大地調動了學生探究問題的積極性，紛紛在課堂上討論起來。老師抓住時機引導學生求1+2+4+…+271，即和學生一起推導出等比數列求和公式。學生計算出麥子的總粒數為272-1粒，這的確是一個相當大的數。

數學應該是有趣的，也應該是有用的，最后也必然是能有效解決實際問題的。

2.立足生活問題，強化學生的應用意識

“學以致用”，應用問題來源于日常生活中大大小小的事情，通過建立中學數學模型，我們可以解決現實生活中的很多問題。如解決上班族合理負擔出租車資、十字路口紅綠燈的設計、蟻族住房問題、鉛球投擲等問題。

如在木料加工廠，師傅們要把一根直徑為200mm的圓木加工成矩形截面的柱子，請問怎樣鋸才能使廢棄的木料最少？

思路分析：這是一個簡單的

生活實際問題，要從數學理論上

來解決。首先要把這個問題抽象

成一個純幾何問題。問題的核心

就是要使廢棄的木料最少。轉化

成數學語言就是使柱子的截面積

最大。這其實就是一個求最大值

問題。所以，問題就可抽象為求內接于直徑為d的已知圓O的最大矩形面積（如圖2所示）。

考察圓木的橫截面可建立模型：設圓的直徑為d，這個圓的內接矩形的面積為S，其中一條邊AB的長為x，而另一

條邊長為y，且y= ，問題轉化為求x為何值時，S

值最大。利用重要不等式或一元二次函數求得，當x= 時，

即d=100 ，廢料最少。

通過上面的例題，說明我們緊密聯系教材內容，可以引導學生思考日常生活中的數學問題。在課堂教學中，這種方式不僅能加深基本知識的理解和運用，同時還會增強學生應用數學的信心，讓中學生獲得必要的解決問題的能力。

3.立足社會熱點問題，介紹建模方法

隨著經濟的發展，中學數學建模問題可以把國家發生的大事和熱點、市場經濟中的利潤和成本、個人的儲蓄和消費、公司的投標計劃等作為材料。我們可以對這些材料進行篩選，找到與教材的合理切入點，把材料融入到課堂教學活動中。生動有趣的問題不僅可以激發學生建立模型的靈感和樹立正確的價值觀，還可以為日后積極主動地運用數學建模思維提供能力上的準備。

如1998年7月26日，廣州至重慶高速公路廣安段指揮中心接到電話預報，24小時后將有一場百年一遇的大暴雨。為了保證高速公路無險情，指揮中心決定在23小時內筑好一道防洪堤壩。這道堤壩可以用來防止正在施工的華鎣山隧道主體工程遭到山洪的損毀。經過防洪專家估算，這道堤壩的建造任務除了需要現有人員全體參戰外，還要調來20輛大型翻斗車同時工作23小時。由于事出突然，只有一輛車可以立即投入使用，其余的翻斗車必須從重慶各地緊急調來。經過協調，每20分鐘能有一輛翻斗車到達工地施工。已知指揮中心最多可以調來26輛翻斗車到工地，請問23小時內能不能完成建好防洪堤壩的任務？并說明理由。

第一步：弄清題意。必須讀懂題意，知道整道題說的是怎樣一個問題。

第二步：聯系知識點。學生需要把問題情景中的文字語言轉化為數學的符號語言，然后用數學公式最好是函數表達式來確定數量關系。同時，還要根據這道題的題眼來明確所涉及的知識點。

第三步：建好數學模型。首先，在明確好了自變量和因變量的關系后，學生對已有的數學理論知識進行分析和歸納，構建起問題相對應的數學模型，從而完成生活實際問題向數學關系表達式的轉化。其次，在答題過程中需要嚴謹的思維過程和比較扎實的計算能力。這樣，才能又快又準地解決問題。

于是我們有了這樣的答題思路：首先，弄清題意。通過讀懂題意和深刻理解題意兩個方面，后者把“問題情景”轉化為數學符號語言。于是，學生找到目標函數與約束條件的主要關系：翻斗車的工程量之和要大于或者等于要完成的工程總量20×23（車每小時）。其次，建立模型。把要完成防洪堤壩的主要關系模擬化、抽象成數學函數或不等式。即假設從第一輛翻斗車開始施工算起，各輛翻斗車的工作時間分別為a1，a2，……a25，a26小時，由題意可得，這些數組成一個公差為d=-1/12（小時）的等差數列，且a≤23。最后，求解最優值。把完成堤壩修筑任務轉化為一般的等差數列求和問題，根據不等式來確定答案范圍。

本例題是我們在高一下學期學習了等差數列求和公式和不等式知識后，結合正在修建的廣渝高速公路重點工程和1998年的抗洪斗爭背景編寫的。這個例子不僅能使學生體會到數學建構思維，也讓學生受到德育的熏陶，展示了數學在中學生社會化方面的影響。

4.立足實踐，培養應用意識和建模能力

如隨著經濟的發展，某人也想提高自己的生活居住水平。日前，他想在廣安市城里購買一套商品房，價格為38萬元，首次付款10萬元后，其余的款額20年按月分期付款，月利率為0.39%（公積金利率）。他希望到中國農業銀行去了解一下，如果他辦理商業性個人住房貸款（月利率為0.62%），請你幫他算算每月應付款多少元？用上面兩種方法算算20年總共還了多少錢？（方法省略）

中華文化博大精深，游戲中也有豐富的素材，如魔方、九連環、優化骰子等，教師還可以結合教材內容提出新的游戲規則，讓學生在做游戲的過程中學到知識、學會方法和理解數學思想，從中引導學生構建數學模型。由此可見，豐富的游戲對青少年數學潛力的開發影響很大。

進入21世紀以后，新課改的一個重要目標就是要在教學中不斷加強綜合性、應用性內容，重視聯系學生的生活實際和社會實踐，突出理論與知識相結合，引導學生關心社會，關心未來。因此，在教學中重視和加強數學建模的教學和應用尤為重要，是數學教學的突破口和出發點。

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