關于極限的四則運算法則

【摘 要】學好極限的相關知識對數學學習有著重要的意義，而極限四則運算法則作為極限相關知識中的重點，需要引起更多的重視。本文主要針對極限的四則運算法則進行了分析、研究與闡述。

【關鍵詞】極限 四則運算法則 研究

【中圖分類號】O13 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）02-0040-02

一 引言

極限部分作為高等數學的基礎部分，對今后的學習有重要的基礎意義，在高等數學中占有十分重要的地位，而極限的四則運算法則，作為極限部分的重點與難點，應該給予更多的重視。本文將針對極限四則運算法則進行研究與分析。

二 極限的四則運算法則

極限的四則運算法則是在學習了極限概念和無窮小量與無窮大量之后的又一重要內容，也是學習導數和微分的重要基礎知識。

在進行極限的四則運算法則之前，需要對極限的概念、無窮小量和無窮大量的概念、無窮小量的運算性質、無窮小量和無窮大量的關系等基本內容都有初步學習和了解，而對于如何利用無窮小量的運算法則、無窮小量與無窮大量之間的關系求取函數的極限，以及利用觀察法求取數列的極限和簡單函數的極限，需要進行進一步的學習與掌握。

極限的四則運算公式表

公式

加減法 ， ，則

乘法 ， ，則

除法 ， ，且y≠0，B≠0，則

極限的四則運算法則是兩個函數的極限都存在，并且分母的極限還不等于0的情況下，當這兩個條件都滿足的，那么兩個函數在和、差、積、商的極限和這兩個函數的極限的和、差、積、商都相等；對于一個常數與一個函數的乘積的極限的情況，其結果等于這個常數與這個函數的極限乘積；并且一個函數的乘方的極限和這個函數的極限乘方也是相等的。在解決具體問題時，需要根據實際情況進行運算和解答，重視實際應用。

當極限的函數是一個整式，可以直接運用極限的四則運算法則來進行計算。例如，當x趨近于1時，分母的極限不是0，可以直接對法則進行運用和計算。

例： = =

三 極限的四則運算法則在進行函數極限求解時需要注意的事項

第一，對于分式來說，當其分母的極限不等于0時，才能直接運用四則運算法則進行求解。

第二，避免一些常見的錯誤的認識，例如對c/0=∞，（c為任意的常數），∞-∞=0，∞/∞=0等。

第三，對于無窮多個無窮小量來說，其和未必是無窮小量。

四 極限的四則運算法則的歸類

1.x→x0這種情況

第一，當函數f（x）是一個整式，可以對極限的四則運算法則進行直接的運用和計算，或是直接對f（x0）進行求解。

第二，當函數f（x）是一個分式，其分母的極限等于0，而要注意分子的極限并不等于0，那么便可以對極限的四則運算法則進行直接的運用并計算，或者求出f（x0）。

第三，在函數f（x）是個分式的情況下，當分母的極限

為0時，那么分子的極限不等于0，可以先對lim =0

進行求解，再根據無窮小量和無窮大量這之間的關系來進行計算。

第四，當f（x）是個分式，如果其分母的極限還有分子極限都等于0，先讓其分子和分母中的公因式進行約分，或者是讓含有根號的分子或分母有理化，再進行約分，然后利用極限的四則運算法則來進行計算，從而得到正確的結果。

2.x→∞的情形

在x→∞的情形下，函數的極限值主要是由分子、分母的最高次冪項的次數之間的關系來進行決定的，需要對分子分母的最高次冪項進行分析。

3.其他的情形

在進行求解的過程中有時用到有關無窮小量的運算性質，對于代數和與乘積的極限而言，要注意其所強調的“有限個無窮小量”，但如果這個條件沒有辦法得到滿足，就不能用這個性質來進行極限的求解。

五 運用極限四則運算法則求極限時常見的錯誤

在進行數列極限的計算中，對于四則運算法則的運用，需要注意一些問題：對數列極限的加、減和乘的運算法則能夠把有限個數列進行推廣，在這種情況下，不能對有限個數列的情況進行適用。在這個法則里還指出，“若兩個數列都有極限的存在”，這是對數列極限的四則運算法則運用的一個前提條件。在利用極限四則運算法則進行計算時，注重兩點，一是法則對于每個參與運算的函數的極限都必須是存在的；二是商的極限的運算法則有個很重要的前提，分母的極限不能為0。當這兩個條件中任何一個條件不能滿足的時候，不能利用極限的四則運算法則進行計算。

六 結束語

總之，極限的四則運算法則作為極限內容中的重點與難點，需要引起重視，在實際運用時，尤其要注意法則的使用條件，從而避免錯誤的出現。

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