古塔變形問題的數值分析

【文章摘要】

文物是一個國家不可再生的文化資源，但是有些文物的變形日趨加重。本文依據管理部門委托測繪公司先后對古塔四次測量的的數據，用求多邊形幾何中心的方式確定古塔每層的中心位置；利用線性回歸方法，判斷古塔的彎曲變形情況，給出了較為合理的解釋。

【關鍵詞】

擬合；線性回歸；中心點；MATLAB

【Abstract】

Cultural heritage is a national non-renewable resources， but some distortion artifacts increasingly worse. In this paper， based mapping company has entrusted management of Guta four measured data， using the geometric center of polygon Guta way to determine the center of each location； using linear regression method to determine the bending deformation Guta， given the more reasonable explanation

【Keyword】

fit；linear regression；center point；MATLAB

1 問題提出

由于長時間承受自重、氣溫、風力等各種作用，偶然還要受地震、颶風的影響，古塔會產生各種變形，諸如傾斜、彎曲、扭曲等。為保護古塔，文物部門需適時對古塔進行觀測，了解各種變形量，以制定必要的保護措施。

某古塔已有上千年歷史，是我國重點保護文物。管理部門委托測繪公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月對該塔進行了4次觀測（數據參見2013年全國大學生數學建模競賽C題附件1）。根據4次觀測、測量數據，討論以下問題：

（1）給出確定古塔各層中心位置的方法，并列表給出各次測量的古塔各層中心坐標。

（2）分析該塔傾斜、彎曲、扭曲等變形情況。

2 問題分析

對于問題一：

對于求古塔各層中心位置的問題，我們將其簡化為求多邊形的幾何中心點問題，將每一層古塔看為空間中均勻的n邊形，將n邊形分為（n-2）個三角形，根據三角形重心求解方法得出各個小三角形的重心坐標，再根據海倫公式求出各個小三角形的面積，最后根據定理（詳見參考文獻[1]）得出多邊形的中心坐標位置。

對于問題二：

通過查閱資料可以知道建筑的傾斜度是頂層重心到底層重心的位移來推算傾斜角的基本原理。用第一問求出的頂層重心到底層重心的重心坐標可以求出傾斜角和位移值。利用回歸平面確定古塔的彎曲變形，通過第一問每次測量的每層重心坐標的變化量反映出古塔的扭曲和沉降變形。

對于問題三：

通過對第二問傾斜角度和水平位移變化量的分析，可得到時間的變化對古塔傾斜角度和水平位移的影響；利用第二問求出的數據，我們根據人的視覺角度，由于每層塔的平面之間有夾角存在，會引起人的視覺誤差，我們進行了加權評估，分析每層塔對整個塔的影響，可以更精確的得到古塔彎曲的變化量；我們算出每層塔重心坐標差值的平均值隨時間的變化量，反映出了古塔的扭曲和沉降變形。

3 模型建立與求解

4 模型的評價與推廣

通過運用任意多邊形勻面重心的方法計算出古塔每層的重心坐標；比利用平均值求多邊形的重心更加準確，合理。運用回歸平面確定了古塔每層的法向量與x、y、z軸的夾角，可準確的判斷出古塔的彎曲變形。利用權重更合理的判斷出古塔的彎曲變形趨勢。

該模型簡單明了，容易理解，可以靈活的運用，具有很強的使用價值，因此可以將該模型推廣于高層建筑物的變形，更好的對建筑物進行維護。

【參考文獻】

[1]戴朝壽.數學建模簡明教程[M].高等教育出版社，2008.

[2]韓中庚.數學建模方法及其應用[M]. 高等教育出版社，2005.

[3]左加.任意多邊形勻面重心的計算方法，http：//wenku.baidu.com/view/14b12f0bf78a6529647d534f.html，2013，9，13.

[4]李凱華.2013高教杯數學建模大賽C題.

[5]肖華勇.實用數學建模與軟件應用[M].西安：西北工業大學出版社，2008.11.