一元二次不等式解法的教學探討

【摘 要】本文通過將一元二次方程的根、拋物線的圖像、一元二次不等式的解三者結(jié)合起來進行討論，力求講清解一元二次不等式的來龍去脈，進而將解一元二次不等式簡化為當判別式大于零時，按“小于兩根之內(nèi)，大于兩根之外”不解，判別式小于或等于零時，觀察草圖來解，從而讓學生更易于學會解一元二次不等式。

【關(guān)鍵詞】一元二次方程 拋物線 一元二次不等式 解法

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）36-0119-02

一元二次不等式是高中數(shù)學的一個重要內(nèi)容，也是高考的一個重要內(nèi)容，它的應用很廣泛，可以用于集合、三角函數(shù)、函數(shù)單調(diào)性、最值、數(shù)列等知識模塊里。對學生來講，也是一個難點。對此，本文僅作一些粗淺的教學方面的探討。

一 知識根源——來龍去脈

學生學習中難以掌握這個內(nèi)容的原因是要把下面三個知識同時兼顧來考慮問題，而很多學生無法將這三者有機結(jié)合起來。

拋物線y=ax2+bx+c （1）

一元二次方程ax2+bx+c=0 （2）

二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0 （3）

以下討論都假設二次不等式中二次項系數(shù)a>0，Δ=b2-4ac，在下面討論1中，設x1

第一，當Δ>0時，方程（2）有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2，相應的拋物線（1）與x軸有兩個不同的交點（x1，0）和（x2，0），這時，要解不等式ax2+bx+c>0，就相當于在拋物線（1）的圖像上找縱坐標大于0的那些點的橫坐標的范圍。也就是找圖1中x軸上方的圖像上的點的橫坐標的范圍。于是由圖1易得到不等式ax2+bx+c>0的解集為{x︱xx2}，表示的數(shù)剛好在兩個根x1，x2的外側(cè)，故可簡稱“大于兩根之外”。

同樣的，要解不等式ax2+bx+c<0，就相當于在拋物線（1）的圖像上找縱坐標小于0的點它們的橫坐標的范圍。也就是找圖1中x軸下方的圖像上的點它們的橫坐標的范

圍。于是由圖1易得到不等式ax2+bx+c<0的解集為{x︱x1

若將上面的不等式中的“<”和“>”號分別換成“≤”和“≥”，只要在最后相應的解集中將“<”和“>”號分別換成“≤”和“≥”號即可。

第二，當Δ=0時，方程（2）有兩個相等的實數(shù)根為x1=

x2= ，相應的拋物線（1）與x軸只有一個交點，這時，

要解不等式ax2+bx+c>0就相當于在拋物線（1）的圖像上找縱坐標大于0的點的橫坐標的范圍。也就是圖2中x軸上方的圖像上的點的橫坐標的范圍。于是由圖2易得到不等式

ax2+bx+c>0的解集為{x︱x≠ }，即拋物線的圖像上除

了頂點外的所有點，橫坐標都適合不等式ax2+bx+c>0，這個結(jié)果只要會觀察圖像就能直接寫出答案了。

同樣的，要解不等式ax2+bx+c<0，就相當于在拋物線（1）的圖像上找縱坐標小于0的點的橫坐標的范圍。也就是圖2中x軸下方的圖像上的點的橫坐標的范圍，而這時拋物線（1）在x軸下方?jīng)]有圖像，于是由圖2易得到不等式ax2+bx+c<0的解集為空集?。

觀察圖2可知，若不等式ax2+bx+c>0中的“>”號換成“≥”號，則解集為R，即拋物線（1）的圖像上每一點的橫坐標都滿足不等式ax2+bx+c≥0；若將不等式ax2+bx+

c<0中的“<”換成“≤”，則解集為{x︱x= }，就是

說，除了拋物線（1）的頂點的橫坐標能滿足不等式ax2+bx+c≤0外，沒有哪個點的橫坐標能夠滿足二次不等式ax2+bx+c≤0。

第三，當Δ<0時，方程（2）沒有實數(shù)根，相應的拋物線（1）與x軸沒有交點，這時，要解不等式ax2+bx+c>0，就相當于在拋物線（1）的圖像上找縱坐標大于0的點它們的橫坐標的范圍。

于是由圖3可以得到不等式ax2+bx+c>0的解集為R，若將不等式ax2+bx+c>0中的“>”號改成“≥”號，解集仍為R。

同樣的，要解不等式ax2+bx+c<0，就相當于在拋物線（1）的圖像上找縱坐標小于0的點的橫坐標的范圍。于是由圖3可以得到不等式ax2+bx+c<0的解集為空集?，若將不等式ax2+bx+c<0中的“<”換成“≤”，則解集仍為?。

二 歸納總結(jié)——易于操作

將上述詳細討論的解法歸納一下，二次不等式的解法其實就只有兩句話：在二次項系數(shù)a>0的情況下：當Δ>0時，用口訣“大于兩根之外，小于兩根之內(nèi)”來解。當Δ=0和Δ<0時，畫出草圖觀察圖像來解。

這樣一來，所有的一元二次不等式都可以如此來解了。

詳見下表：

Δ>0Δ=0Δ<0

二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a>0）的圖像y=ax2+bx+c

y=ax2+bx+c

y=ax2+bx+c

一元二次方程ax2+bx+c=0

（a>0）的根有兩相異實根

x1，x2（x1，

x1=x2=

無實根

ax2+bx+c>0

（a>0）的解集{x︱x

x>x2}{x︱x≠ }

R

ax2+bx+c≥0

（a>0）的解集{x︱x≤x1或

x≥x2}RR

ax2+bx+c<0

（a>0）的解集{x︱x1

ax2+bx+c≤0

（a>0）的解集{x︱x1≤x≤x2}{x︱x= }

三 典型例題——學以致用

例1，[2010年全國高考卷（13）]不等式 -x≤1的解集是 。

解析1：原不等式等價于 ，

解得：0≤x≤2。

解析2： -x≤1? ≤1+x?

? ?0≤x≤2?{x︱0≤x≤2}，其中解不等式x2-

2x≤0時就可以直接用口訣來解。

例2，已知函數(shù)f（x）=lg（x2-2mx+m+2），若f（x）的定義域為R，求實數(shù)m的取值范圍。

解析：因為對數(shù)的真數(shù)必須大于0，所以由題意可知，不等式x2-2mx+m+2>0的解集為R，即拋物線y=x2-2mx+m+2的圖像與x軸沒有交點（參見上表），所以Δ=（-2m）2-4（m+2）=4m 2-4m-8<0?m2-m-2<0?-1

所以，若f（x）的定義域為R，實數(shù)m的取值范圍（-1，2）。其中解不等式m2-m-2<0時可以直接用口訣來解。

例3，一元二次不等式ax2+bx+2>0的解集是（ ，

），求a+b的值。

解析：依題意，由上邊的討論可知，如果這里a>0，那么解集肯定是“兩根之外”的形式，而這里是“兩根之內(nèi)”的形式，說明這里a<0，且方程ax2+bx+2=0的兩根分別

為 和 ，于是由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：

? ?a+b=-14。

〔責任編輯：林勁〕