類比推理在解題中的應用

【摘""要】在解決問題的過程中，合情推理具有猜測和發現結論、探索和提供思路的作用，有助于創新思維的培養。人教版高中數學選修2-2第二章推理與證明中，教材將類比推理作為合情推理的一個重要內容，是整個高中階段對類比推理的高度概括與總結，也是將這種培養學生思維能力的方式從幕后推向臺前，是點睛之筆。

【關鍵詞】類比推理""概念類比""升維類比""降維類比

【中圖分類號】G632"""""""""""【文獻標識碼】A"""""""""""【文章編號】1674-4810（2014）33-0019-01

類比推理以舊的知識作基礎，推測新的結果，具有發現的功能。類比在數學發現中具有重要作用，如通過空間與平面、向量與數、無限與有限、不等與相等的類比，可從熟悉的知識（如平面、數、有限、相等）中得到啟發，發現可研究的問題及研究方法。由于類比推理的前提是兩類對象之間具有某些可以清楚定義的類似特征，所以進行類比推理的關鍵是明確地指出兩類對象在某些方面的類似特征。筆者下面探究類比推理在解題中的應用。

一"概念類比，延伸定義范圍

我們可以從已經獲得的知識出發，通過類比而得出新發現，類比已有的定義可以提出新的定義，法國天才數學家伽羅瓦正是類比了加法和乘法在不同的集合的運算，提出了“群”的概念。

例1，（2007年，福建理）中學數學中存在許多關系，如“相等關系”“平行關系”等，如果集合A中元素之間的一個關系“～”滿足以下三個條件：（1）自反性：對于任意a∈A，都有a～a;（2）對稱性：對于a，b∈A，若a～b，則有b～a;（3）傳遞性：對于a，b，c∈A，若a～b，b～c，則有a～c。

則稱“～”是集合A的一個等價關系，如“數的相等”是等價關系，而“直線的平行”不是等價關系（自反性不成立），請你再列出三個等價關系："""""""""""""""""。

點評：本題答案不唯一，如“圖形的全等”“圖形的相似”“非零向量的共線”“命題的充要條件”等。

二"升維類比，得出新結論

在立體幾何中為了研究幾何體的性質，常在平面幾何中尋找一個研究過的對象，通過類比這個對象的性質，獲得幾何體性質的猜想以及證明這些猜想的思路，如長方形類比長方體，直角三角形類比三條側棱兩兩垂直的三棱錐，圓類比球，正三角形類比正四面體等。在研究不等式性質時，也常先研究維數較低的不等式，再進行類比猜想出維數較多的不等式，如均值不等式、柯西不等式等。

例2，（2009年，江蘇理）在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4，類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長的比為1∶2，則它們的體積比為_________。（答案：1∶8）

點評：類比平面圖形的相似性質：面積比等于相似比的平方;幾何體的相似性質：體積比等于相似比的立方。

三"降維類比，探索解法

例3，設x+y+z=19，則函數

的最小值為_______。

筆者將解此題的思考過程展示出來：初看此題，可以想到與兩點距離公式有關，但不知從何下手，后來嘗試構造了只有兩個變量的類比題：已知x+y=19，求函數的最小值_______。并用如下方法解了出來：將y=19-x代入函數得

表示x軸上的動點P（x，0）到兩定點A（0，2），B（19，3）的距離之和，取B關于x軸的對稱點B'（19，-3），則≥。但這一方法不適合推廣到三

維，后來又改進了解法。

[當且僅當P（x，2），O（0，0），Q（y，3）

三點共線時取等號]，即≥。因此在解本題時構造了五個點：P（x，2），O（0，0），Q（y，3），R（x+y，2+3），S（z，4）。

故本題的解法：

≥≥

，當且僅當，即x=，

，時，函數的最小值為。

點評：本題難在要先后兩次構造三角形不等式，還要分析等號成立的條件。構造三角形不等式時，在變量比較多時，可以先減少一下變量的個數以便于研究解法。注意本題等號成立的條件是構造的三個點能在同一直線上。

參考文獻

[1]王朝璇.類比題的類型及解題方法[J].中學數學，2009（2）

[2]張愛梅、劉元利.活躍在高考題中的立體幾何類比題評析[J].中學數學，2008（3）

[3]劉兵華、田仁好.從高考試題看類比推理在解題中的作用[J].中學數學，2008（6）

〔責任編輯：龐遠燕〕

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*"福建省教育科學“十二五”規劃2013年度課題“高中學生校外數學應用與實踐狀況研究”（編號：FJJKXB13-069）