從柯西不等式的求證體會不等式的證明方法

高中數學中，不等式的證明常常是困擾學生的一大難點，下面我結合二維柯西不等式的證明淺談不等式的證明方法。

此題用作差比較法，一般步驟：（1）作差；（2）變形；（3）定號。其中變形是難點，常用方法是因式分解或配方（對整式）、通分（對分式）、有理化（對無理式）。

證法2（分析法）（1）當ac+bd≤0時，不等式顯然成立。

（2）當ac+bd>0時，欲證原不等式成立，只需證（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），即證a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2，即證 分析法是執果索因的思考方法。要證明不等式成立，只需證明與之等價的不等式成立即可。要求學生在表達的過程當中要注意不能把要求證的命題當已知條件用。

特殊地，當僅含兩組變量時，有（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）；（a，b，c，d∈R）

證法3（綜合法）∵（a2+b2）（c2+d2）=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=（a2c2+2abcd+b2d2）+（a2d2-2abcd+b2c2）=（ac+bd）2+（ad-bc）2≥（ac+bd）2.

綜合法是由因導果的思考過程，常常要觀察所證明的不等式的結構特征并結合已知不等式去選擇合理的證明方法。

證法4（構造特殊函數法） 記f（x）=（a2+b2）x2+2（ac+bd）x+（c2+d2），

∵f（x）=（a2x2+2acx+c2）+（b2x2+2bdx+d2）=（ax+c）2+（bx+d）2≥0對？坌x∈R恒成立。

∴（1）當a2+b2≠0時，只需方程f（x）=0根的判別式△≤0，即[2（ac+bd）]2-4（a2+b2）（c2+d2）≤0，（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）.

（2）當a2+b2=0即a=0，b=0時，原不等式顯然成立。

欲證不等式的結構特征與一元二次方程根的判別式△=b2-4ac的結構特征很類似，由此嘗試構造一元二次函數，能使得其判別式就是所證的不等式或者與之相關，于是有了上述證法。

（2）當a2+b2=0時，易知原不等式成立。

用幾何法主要應當觀察式子的結構特征，聯想其幾何意義，用數形結合的方法求解，常見有表示直線的截距、斜率；兩點間的距離及點線距離（包含圓錐曲線的定義）、線線距離；用幾何法會使問題直觀、簡潔。

則ac+bd=mn cos？琢cos？茁+mn sin？琢sin？茁=mn cos（？琢-？茁），

∵mn cos（？琢-？茁）≤mn，∴原不等式成立。

在不等式的證明中以及用不等式法求最值時，能用三角代換法的應盡可能用三角代換，基于三角函數的有界性，不容易求錯。形如已知 證法7（利用余弦定理） 設O（0，0），A（a，b），B（c，d），若O，A，B三點不共線，則在△OAB中考慮余弦定理：|AB|2=|OA|2+|OB|2-2|OA||OB|cos∠AOB.

向量作為學習數學、探究數學的工具，在不等式的證明、解決三角形、立體幾何、解析幾何問題中有著廣泛的應用，是不可多得的好武器。

作者簡介：黃其芳，男，出生年月：1979.09，畢業于閩南師范大學數學與應用數學專業，就職于福建省漳州二中，研究方向：數學。