運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思想解題點(diǎn)滴體會(huì)

摘 要：化歸與轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問題時(shí)經(jīng)常使用的基本思想方法，運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思想將數(shù)學(xué)問題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，化大為小，化生為熟，化數(shù)為形、化一般為特殊，達(dá)到最終解決問題，解題過程具有靈活性與多樣性的特點(diǎn).

關(guān)鍵詞：化歸與轉(zhuǎn)化；數(shù)形結(jié)合；函數(shù)與不等式

化歸與轉(zhuǎn)化思想是指在研究解決數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而使問題得到解決的一種解題策略.數(shù)學(xué)題中的條件與條件、條件與結(jié)論之間存在著差異，差異即矛盾，解題過程就是有目的地不斷轉(zhuǎn)化矛盾，最終解決矛盾的過程.那么，我們應(yīng)該如何在平時(shí)解題過程中注意培養(yǎng)化歸與轉(zhuǎn)化意識(shí)，以進(jìn)一步提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力呢？下面結(jié)合例題談一談如何實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的化歸與轉(zhuǎn)化.

一、利用特殊化的思想來實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化

根據(jù)辯證法，一般性往往寓于特殊性之中，解題時(shí)，將一般問題特殊化和將特殊問題一般化是常用的兩種策略.對(duì)一些較為抽象或一般規(guī)律又無(wú)顯露的數(shù)學(xué)問題，只需找到符合題目已知條件的特例即可以將抽象問題具體化，一般問題特殊化的方法來驗(yàn)證，針對(duì)選擇題和填空題躲開了通性通法，從而“小題快做”，迅速鎖定正確答案.在高考中防止將所有的選擇題、填空題當(dāng)解答題做，造成小題大做，這也是隱性失分.

本解法利用直角三角形代替一般三角形，這種特殊圖形法解題正是化歸與轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn).當(dāng)問題難以入手時(shí)，應(yīng)先對(duì)特殊情況或簡(jiǎn)單情形進(jìn)行觀察、分析，發(fā)現(xiàn)問題中特殊的數(shù)量或關(guān)系結(jié)構(gòu)或部分元素，根據(jù)已知條件，完成從一般情形的研究到特殊問題的解答的過渡并加以解決，這就是特殊化的化歸策略.

個(gè)案2：設(shè)A1，A2，…，An為集合S={1，2…n}的n個(gè)不同子集 （n≥4），為了表示這些子集，作n行n列的數(shù)陣，規(guī)定第i行與第j列的數(shù)為aij0，i？埸Aj1，i∈Aj，則下列說法正確的個(gè)數(shù)是（ ）

①數(shù)陣中第1列的數(shù)全是0當(dāng)且僅當(dāng)A1=？覫；

②數(shù)陣中第n列的數(shù)全是1當(dāng)且僅當(dāng)An=S；

③數(shù)陣中第j行的數(shù)字和表明元素j屬于A1，A2，…，An中的幾個(gè)子集；

④數(shù)陣中所有的n2個(gè)數(shù)字之和不小于n；

⑤數(shù)陣中所有的n2個(gè)數(shù)字之和不大于n2-n+1.

A.2 B.3 C.4 D. 5

分析：觀察題目條件中的括號(hào)內(nèi)容啟發(fā)我們可以利用特殊數(shù)值法將一般問題化歸轉(zhuǎn)化為特殊來求解.由n≥4可取n=4，則S={1，2，3，4}.

（1）令A(yù)4=S={1，2，3，4}，則由已知ai40，i？埸A41，i∈A4，i=1，2，3，4，且i=1，2，3，4都在A4內(nèi)，∴數(shù)陣第4列的數(shù)全是1，故②正確；

的數(shù)全是0，故①正確；數(shù)陣中16個(gè)數(shù)字之和為3小于4，故④錯(cuò)誤；數(shù)陣中16個(gè)數(shù)字之和3不大于42-4+1=13正確，故⑤正確；數(shù)陣中第2行（j=2）的數(shù)字和“1”表明元素j=2屬于A1，A2，A3，A4中的“1”個(gè)子集（即是A3），故③正確；綜合以上分析4個(gè)正確，1個(gè)錯(cuò)誤，答案選C.

（j=2）的數(shù)字和“3”表明元素j=2屬于A1，A2，A3，A4中的“3”個(gè)子集（即是A1，A2，A4這3個(gè)），故③正確；

本題是創(chuàng)新定義題型，有大學(xué)中高數(shù)的背景，入手難，需要考生認(rèn)真細(xì)心觀察，找到n=4這一關(guān)鍵點(diǎn)處突破，化一般為特殊即可在有限時(shí)間內(nèi)破解本題.

二、用數(shù)形結(jié)合的思想來實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化

數(shù)形結(jié)合思想，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，體現(xiàn)了從形到數(shù)和從數(shù)到形的化歸與轉(zhuǎn)化.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合研究數(shù)學(xué)問題，加強(qiáng)了知識(shí)的橫向聯(lián)系和綜合應(yīng)用，對(duì)于溝通代數(shù)與幾何的聯(lián)系，具有指導(dǎo)意義，縱觀多年來的高考試題，巧妙地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果.數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”.

找到動(dòng)點(diǎn)P坐標(biāo)b、c所滿足的條件，再將其化歸轉(zhuǎn)化為形，問題即可破解.

f ′（x）=3x2+2bx+c，∵f（x）當(dāng)x∈（0，1）時(shí)取得極大值，

當(dāng)x∈（1，2）時(shí)取極小值，如圖2

∴可得：

f ′（0）=c>0f ′（1）=3+2b+c<0f ′（2）=12+4b+c>0，

可得此不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域BDE（陰影部分圖3），即為 P（b，c）所運(yùn)動(dòng)的平面圖形，作AH⊥l1，垂足為H，則AH2

個(gè)案2.設(shè)[m]表示不超過實(shí)數(shù)m的最大整數(shù)，則在直角坐標(biāo)平面xOy上滿足[x]2+4[y]2=100的點(diǎn)P（x，y）所形成的圖形的面積為（ ）

A.10 B.12 C.10π D.12π

分析：我們?cè)诮鉀Q這個(gè)方程：[x]2+4[y]2=100，不考慮正負(fù)，[x]，[y]的整數(shù)解有四組，（0，5），（10，0），（6，4），（8，3）

（1）當(dāng)[y]=5時(shí)，5≤y<6或-5≤y<-4，由[x]=0，∴0≤x<1，圍成的區(qū)域是兩個(gè)單位正方形；

（2）當(dāng)[x]=10時(shí)，10≤x<11或-10≤x<-9，由[y]=0，∴0≤y<1，圍成的區(qū)域也是兩個(gè)單位正方形；

（3）當(dāng)[x]=6時(shí)，6≤x<7或-6≤x<-5，再由[y]=4，4≤y<5或-4≤y<-3，圍成的區(qū)域是4個(gè)正方形；

（4）當(dāng)[x]=8時(shí)，8≤x<9或-8≤x<-7，再由[y]=3，3≤y<4或-3≤y<-2，圍成的區(qū)域也是4個(gè)正方形.共12個(gè)單位正方形，圖中陰影部分的變式而來.本題從給定方程，利用取整函數(shù)的意義，確定出滿足方程的整點(diǎn)，對(duì)整點(diǎn)進(jìn)行分類討論，化歸轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖形，以形助數(shù)通過圖形確定出面積.

題后思考：

其他條件不變，若將方程改為：[x]2+[y]2=25，則點(diǎn)P（x，y）所形成的圖形的面積又是哪個(gè)選項(xiàng)呢？留給讀者思考.

三、函數(shù)與不等式之間的化歸與轉(zhuǎn)化

（Ⅰ）求證實(shí)數(shù)a的取值范圍；

定理a≥g（x）max，得a≥1，本小題利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)將函數(shù)化歸為不等式問題，再將不等式分離變量又等價(jià)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值問題；

（Ⅱ）分析：（1）觀察所要證明的不等式的右邊共n-1項(xiàng)（n∈N*，n≥2）的和，從這得到啟發(fā)；

（2）所要證明的左邊只有孤獨(dú)的一項(xiàng)lnn，聯(lián)想到分析（1），若能將lnn裂變成n-1項(xiàng)的和，則問題下一步就可以解決，注意到真數(shù)本題（Ⅰ）問從已知出發(fā)，構(gòu)建出不等式求出參數(shù)a的取值范圍，實(shí)現(xiàn)了從已知函數(shù)向所構(gòu)建不等式的轉(zhuǎn)化；本題（Ⅱ）問從所證不等式入手，多次利用化歸與轉(zhuǎn)化思想通過逆向思維分析實(shí)現(xiàn)了從所證不等式到已知函數(shù)的轉(zhuǎn)化，整個(gè)解題思維通過化難為易、化繁為簡(jiǎn)、化生為熟達(dá)到最終解決問題.

題后思考：1.本題（Ⅱ）問所證的不等式與正整數(shù)與n有關(guān)，是否可以用數(shù)學(xué)歸納法證明呢？

高考十分重視對(duì)化歸與轉(zhuǎn)化思想的考查，要求考生熟悉數(shù)學(xué)變換的思想，在變換思想指導(dǎo)下，針對(duì)面臨的數(shù)學(xué)問題，實(shí)施或變換問題的條件，或變換問題的結(jié)論，或變換問題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，或變換問題的外部表現(xiàn)形式去靈活解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題. 當(dāng)然化歸與轉(zhuǎn)化的思想具有靈活性和多樣性的特點(diǎn)，沒有統(tǒng)一的模式可遵循，需要依據(jù)問題本身提供的信息，利用動(dòng)態(tài)思維，去尋找有利于問題解決的變換途徑和方法，所以學(xué)習(xí)和熟悉化歸與轉(zhuǎn)化的思想，有意識(shí)地運(yùn)用數(shù)學(xué)變換的方法，去靈活地解決有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，將有利于提高和掌握解決數(shù)學(xué)問題的應(yīng)變能力、技能和技巧.

參考文獻(xiàn)：

程宏詠.運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思想解題.高中生，2009（10）.

作者簡(jiǎn)介：張建平，男，1967.10，學(xué)歷：本科，就職學(xué)校：福建省連城縣第一中學(xué)，研究方向：提高新課程課堂教學(xué)質(zhì)量.