改進Diebold & Li兩步法的Nelson—Siegel模型

摘 要：Nelson-Siegel利率期限結構模型指數部分的衰減參數通常根據Diebold Li的兩步法、遺傳算法或非線性最小二乘法估計，這會導致擬合誤差偏大或估計結果不穩定。本文提出用遺傳算法與最小二乘法交叉迭代的方法來改進Diebold Li兩步法對Nelson-Siegel利率期限結構模型參數的估計，并與Diebold Li兩步法和遺傳算法進行實證比較。實證結果表明，用改進的兩步法不僅能提高樣本內模型的擬合優度，還能降低樣本外模型的定價誤差，特別是對于較長期限的債券數據，改進的兩步法的模型估計效果明顯好于Diebold Li兩步法和遺傳算法。

關鍵詞：關鍵詞：Nelson-Siegel模型；遺傳算法；Diebold Li兩步法；改進的兩步法

中圖分類號：F820 文獻標識碼：A 文章編號：1003-9031（2014）02-0013-04 DOI：10.3969/j.issn.1003-9031.2014.02.03

一、文獻綜述

利率期限結構作為風險管理、金融衍生品定價、貨幣政策制定和政策效果判斷的重要基礎工具之一，引起了國內外學者的強烈關注，研究成果豐富。Willner（1996），Bravo Silva（2005）應用利率期限結構免疫投資組合的利率風險[1-2]；Diebold et al.（2006a）運用利率模型為美國債券進行套期保值[3]；朱世武（2004），余文龍與王安興（2010）等研究使用利率期限結構模型對中國國債進行套期保值[4-5]；劉艷萍等（2009）將利率期限結構應用于商業銀行的風險管理[6]；郭濤和宋德勇（2008）研究了利率期限結構與未來通貨膨脹的關系，并對未來通脹進行了預測[7]，等等。當前，研究利率期限結構的模型主要有：均衡模型、無套利模型和參數模型。前兩者運用隨機微分方程刻畫利率的行為，模型比較復雜而且需要大樣本。而參數模型是對利率的函數形式作出預先假設，然后通過靜態擬合某一國債截面數據，估計出模型參數。其中應用最廣泛的參數模型包括Nelson-Siegel模型（NS）[8]，它已經成為多國央行繪制利率期限結構曲線的工具[9]。

NS模型能描述單調、駝峰型及其反轉的利率期限結構曲線，特別適合像我國這樣債券品種較少、期限結構單一的不發達的債券市場。然而在NS模型中，指數部分的衰減參數的選擇對收益率曲線的擬合有重要影響，對的選擇不同，所估計的利率期限結構可能差異較大，對債券定價和風險管理等會產生較大影響。對此，Diebold Li （2006b）提出了估計NS模型的兩步法（DL兩步法）[10]：第一步根據經驗確定指數部分的衰減參數，第二步在已知的基礎上通過線性最小二乘法估計出其余三個參數。Rafael B. de Rezende（2011）仿照DL兩步法，選擇一組一定數量的可能值，逐一代入NS模型，通過最小化即期利率或遠期利率的平均根均方誤差MRMSE來獲得及其它參數的最優值[11]。國內研究方面，余文龍與王安興（2010）通過經驗推斷NS模型的曲率因子負載的極大值點處于3.5年，然后反求出的估計值；胡志強與王婷（2009）直接羅列出的若干可能取值，接著通過最小擬合誤差估計出參數[12]。由于NS模型是其參數的非線性函數，用非線性最小二乘法估計參數會因依賴初始值而導致估計結果不穩定，而DL兩步法的優點在于運算簡便，而且結果穩定，但缺點是對參數的估計存在一定的隨意性，容易產生估計誤差。國內學者使用的另一個常見的估計方法是遺傳算法。任姝儀等（2011）在NS模型的四個參數的經驗范圍內構建參數初始種群，通過算法迭代，一次性計算出包含的所有參數[13]，因此遺傳算法也可以稱為“一步法”。遺傳算法對的估計結果不太穩定，收斂速度的快慢取決于給定的算法參數，對異常值也比較敏感，有時還會陷入收斂陷阱，需要反復試驗。針對DL兩步法和遺傳算法的上述缺陷，本文提出了基于改進的兩步法的NS利率期限結構模型，并利用上海證券交易所國債數據與基于遺傳算法及DL兩步法的NS利率期限結構模型進行實證比較。

二、NS利率期限結構模型及改進兩步法的求解

（一）NS利率期限結構模型及其參數？姿的估計

NS利率期限結構模型采用式（1）來擬合即期利率。通過求解樣本國債的理論價格與市場價格誤差的最小值問題來估計模型參數，進而求得利率期限結構。

r（t；？姿）=？茁0+？茁1■+？茁2（■-e-？姿t）（1）

其中，？茁i（i=0，1，2）和？姿是模型參數。根據Diebold Li（2006b）的理解，各參數具有明顯的經濟含義： ？茁0表示利率期限結構的水平因子，反映利率的長期水平；？茁1表示利率期限結構的斜率因子，反映短期利率水平；？茁2描述利率曲線彎曲的形態和趨勢，是利率曲線的曲率因子；？姿則決定了斜率、曲率因子負載的收斂速度，稱之為衰減參數。

現有文獻估計上述參數主要采用經驗分析[14]，各參數的范圍滿足：？茁0+？茁1>0，0.03<？茁0<0.1，-0.1<？茁1，？茁2<0.1，？姿？綴（0，1）。就衰減參數？姿的估計，目前主要采用DL兩步法和遺傳算法。對于DL兩步法，考慮到？姿取決于NS模型的曲率負載的極值點位置，因此首先通過經驗設定曲率負載取得極值的時間點t=t*，然后利用曲率負載在極值點的一階條件獲得？姿的估計值？姿*。然而憑經驗所得的極值點一般都不精確，由此得到的估計誤差較大。對于遺傳算法，則完全剔除了經驗判斷，在NS模型所有參數的經驗范圍內構造多組待估參數的可選數值（初始種群），每一組都被看成個體，將它們依次代入到目標函數，然后選擇函數值較小的一定數量個體，經交叉和變異，生成待估參數的子種群，重復此過程，直至迭代達到給定的次數，或目標函數小于某一給定正數，最終取得最小函數值的個體就是模型參數的估計值，如此一次性全部求出所有參數的遺傳算法也可稱為“一步法”。問題是NS模型是其參數的非線性函數，因此在迭代運算過程中，四個參數相互影響，導致每次運算的結果相差較大，所得？姿的估計值？姿*很不穩定。

（二）改進的兩步法及求解

1.改進的兩步法的基本思路

為了彌補DL兩步法與遺傳算法在估計NS模型的衰減參數？姿時的局限性，本文通過改進的兩步法尋找最優的？姿*。基本思路是在最小化樣本國債加權價格誤差平方和的目標函數下，通過遺傳算法與線性最小二乘法交叉迭代，獲得最優的參數？姿*，最后再利用最小二乘法求出其它參數，進而得到即期利率。這樣做較DL兩步法和遺傳算法估計NS模型參數值有下列優點：一是融合了遺傳算法的大樣本挑選優勢；二是同時具備線性最小二乘法的穩定性。

模型中的目標函數一般是：

min■■（Pk-Pk）2（2）

其中，Pk，Pk為國債的市場價格和理論價格，m為債券數量。根據修正久期的經濟含義，在其他因素相同的情況下，固息國債剩余期限越長，修正久期就越大，相同利率變化造成的國債價格波動也就越大。考慮到我國國債大多集中在中期，長、短期國債數量有限，所以本文采用修正久期的倒數對不同期限的國債價格誤差進行加權調整，以消除期限對價格誤差的影響。此時，目標函數變為：

■■■[■（Pk-Pk）/■■]2，（3）

其中，■k=■Ci？啄（ti），

？啄（t）=exp（-r（t；？姿）t）=exp（-t（？茁0+？茁1■+？茁2■-e-？姿t））， Dk是修正久期，Ci是利息，n為利息支付次數，？啄（t）是債券在t時刻的貼現函數，其它各符號意義與上文相同。

2.基于改進的兩步法的模型求解步驟

首先在？姿的經驗范圍內生成一定數量的初始種群，將種群的每個個體代入式（3）-（4），并采用最小二乘法估計出其余三個參數序列，得到相應的適應度函數值，以此作為挑選？姿的依據。具體求解步驟如下：（1）初始種群的生成：設置進化代數計數器n←0，最大進化代數N，在參數？姿范圍內隨機生成k個個體（染色體），構成的初始種群P（0）；（2）選擇：將上述k個個體代入式（3）-（4），利用最小二乘法估計出其余三個參數值，得到參數組序列？茁i1，i=0，1，2，進而得到適應度值，對其從小到大排列，利用選擇算子保留函數值較小的一定數量的染色體；（3）交叉：利用交叉算子將保留下來的染色體兩兩線性組合，得到新的染色體；（4）變異：運用變異算子按照一定的變異概率改變染色體的部分基因，形成？姿的子種群P（1），將子種群中的個體代入式（3）-（4），用最小二乘法估計出參數組？茁i2，i=0，1，2，接著得到適應度值，從小到大排列選出函數值較小的一定數量的染色體，轉到步驟（3），（4）；（5）終止條件判斷：若n≤N，或所得參數的目標函數值大于預先給定的較小正數，則n←n+1，轉到步驟（2）；反之，則以進化過程中所得到的具有最大適應度的個體作為最優解輸出，終止運算。

三、實證比較與分析

考慮到數據的可得性和豐富性問題，本文選取上海證券交易所2008年7月10日，共計33支國債日交易收盤數據進行實證分析，數據來源于和訊債券網。考慮到NS模型對長期期限數據的擬合效果較差，我們將剩余期限在10年以上的4個樣本點予以剔除，同時還剔除到期收益率為負的一個異常點，然后用剩下的其中19只樣本內債券數據進行模型估計，其余9支樣本外國債數據用于模型檢驗。用Matlab編寫改進的兩步法、遺傳算法和DL兩步法的程序。算法開始首先確定各參數取值，如群體數量、代溝大小、交叉和變異概率等，它們對算法的結果有重要影響。根據常用的參數范圍及試算結果①，對于改進的兩步法，設定算法參數如下：染色體數目k=200，最大遺傳代數M=300，代溝g=0.5，交叉概率P交叉=0.8，變異概率P變異=0.15。對于遺傳算法，參數設定為：染色體數目k=40，最大遺傳代數M=1000，代溝g=0.9，交叉概率P交叉=0.8，變異概率P變異=0.175。對于DL兩步法，本文借鑒文獻[5]的做法，取定？姿=0.51235。用這三個算法估計NS模型的結果見表1。根據表1，與遺傳算法和兩步法相比，改進的兩步法所得目標函數值最小，擬合優度最高②，DL兩步法則最低。

樣本外的理論價格與市場價格的絕對誤差見表2。根據表2，基于改進的兩步法的價格誤差是39.68，而基于遺傳算法和DL兩步法分別是41.12和45.56，顯然前者要優于后兩者，因此，改進的兩步法對較長期限的債券數據擬合有明顯優勢。接著，為對比基于改進的兩步法、遺傳算法和DL兩步法的NS模型對較短期限數據的擬合效果，剔除上述樣本中剩余期限為6年以上的數據，即用18只樣本內債券數據估計模型，用剩下的7只樣本外債券進行模型檢驗。估計結果見表3，其中，雖然根據改進的兩步法所得的目標函數值最小，但三者的擬合優度沒有明顯差別。樣本外的理論價格與市場價格的絕對誤差見表4。根據表4，基于改進的兩步法的價格誤差是3.9，而基于遺傳算法和DL兩步法分別是4.3和3.9，前者優于遺傳算法，但和DL兩步法相當。因此三個算法對較短期限數據的擬合效果近似。綜合比較三種算法對長、短期限數據的估計效果，改進的兩步法要優于遺傳算法和DL兩步法。

為了進一步對比三種算法的估計效果，本文還選擇了2005年1月4日起連續3個交易日數據（剩余期限為15年以下）做實證分析，特別的是，為了避免樣本數據選擇的刻意性，只隨機選擇每日80%的樣本內數據做擬合，剩余20%的樣本外數據做模型算法檢驗，根據樣本內的擬合優度和樣本外的根均方誤差RMSE來判斷三種方法的優劣。實證結果見表5。

由表5可知，改進的兩步法在擬合優度R2方面是最高的，根均方誤差也是相對最低的，三者的平均根均方誤差分別是2.09，2.17和3.87。總的看來，改進的兩步法優于遺傳算法，而遺傳算法優于DL兩步法。

四、結論

債券及利率衍生品定價、風險管理和貨幣政策制定依賴于利率期限結構的精確估計，NS利率期限結構模型是應用最廣泛的模型之一。對于其指數部分的衰減參數的估計，大多存在一定的隨意性，然而衰減參數的估計對利率期限結構的準確估計具有重要影響。對此，本文提出基于遺傳算法與最小二乘法交叉運用改進了DL兩步法的NS利率期限結構模型的參數估計方法，然后以上海證券交易所國債數據為樣本，與遺傳算法和DL兩步法的NS模型進行實證比較。結果顯示：基于改進的兩步法的NS利率期限結構模型能減少價格誤差，具有較高的穩定性，總體上優于遺傳算法和DL兩步法，特別是對于較長期限的債券數據樣本。顯然地，改進的兩步法可以推廣應用到NS族模型，還可以考慮應用于利率期限結構的預測方面，這將是我們后續研究的問題。■

（責任編輯：徐璐）

參考文獻：

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