微分方程在實際中的應用

【摘要】本文通過舉例，說明了微分方程在生物、經濟、物理等交叉學科中的作用，進一步揭示了掌握微分方程理論知識的重要性。

【關鍵詞】競爭種群;供求均衡;混沌

一、微分方程的基本概念：

表示自變量、函數、導函數關系的等式稱為微分方程，如果函數只有一個自變量，那么稱其為常微分方程（ODEs），若函數有多個自變量，稱其為偏微分方程（PDEs）。

只含一階導數的微分方程稱為一階微分方程，含有階導數的方程稱為階微分方程，階微分方程通過變換可以化成由個一階微分方程構成的方程組;如果函數和它的導函數都是一次的微分方程稱為線性微分方程，否則稱非線性微分方程。

二、在生物種群模型中的應用：

兩個競爭種群A、B在時刻密度分別為和，和是關于時間的連續可微函數。種群A、B不斷繁殖導致密度變化，而由于A、B之間相互競爭，導致它們各自作為對方的食餌而相互抵消，這樣影響它們各自密度變化率的有兩個因素：一是自身的增長消亡，二是相互競爭導致的消亡。由此有了下面著名的Volterra模型：

這里，和分別表示了在時刻種群A、B的密度變化，分別為A、B的自然增長率，表示它們自身的消亡。而、表示A、B的內稟增長率，表示在B的影響下，種群A的減少程度;表示在A的影響下，種群B的減少程度，且要求系數均是大于0的常數。

這是一個一階非線性常微分方程組，

它的平衡點為A、B、C、P，當時，平衡點P具有生態意義，即它是漸進穩定的正平衡點，當時，，說明在一定條件下經過長期競爭后，可以使種群A、B密度（數量）趨于穩定。

三、在數量經濟中的應用：

在完全市場競爭條件下，商品價格由供求關系決定，即商品在時刻的供給量及需求量與時刻的商品價格有關，假設供給函數與需求函數分別為

，

其中，均為常數，且。

則供求均衡的靜態模型為，此時均衡價格為。假設初始價格為，而時刻價格變化率與供求量的差值成正比，即有

這是一個一階線性常微分方程的初值問題，其中為比例常數，，這個方程的解為

由于，則，即最終供求平衡使得商品價格達到一個穩態。

例如，取，則商品價格隨時間的變化曲線如下：

四、在物理學中的應用：

1.大氣混沌方程：Lorenz方程

1963年美國麻省理工學院的氣象學家E.Lorenz在對天氣預報的微分方程模型進行數值計算時發現了一個由3維非線性方程組描述的著名Lorenz方程，這就是混沌現象的第一個奇怪吸引子Lorenz吸引子。Lorenz方程可以作為許多實際中混沌運動的精確模型，在研究天氣、對流現象中備受關注。Lorenz方程的基本形式為：

其中，是隨時間t變化的物理量，可看作是t的連續可微函數;均是正參數，且當參數不同時，方程狀態就不同。

當時，取初值為（3，2，5），時間t取[0，75]，系統出現蝴蝶狀的混沌吸引子，如圖：

五、總結：

以上就微分方程的應用舉了幾個特殊的例子，在實際科學研究中，微分方程還可以廣泛應用于其他領域，而解決問題的思想是將現實生活中的某些現象和某些數值，通過某種聯系抽象成微分方程模型，再對該模型進行求解和分析，最后得到我們想要的結果。

參考文獻：

[1] 姜啟源，謝金星[M].數學模型.3版.2003.北京：高等教育出版社

[2] 吳贛昌.微積分[M].4版.2011.北京：中國人民大學出版社