例談利用旋轉變換作輔助線解題

摘 要：筆者在一次測驗中發現，學生對于一道經典題的解答錯誤率極高。筆者對學生的錯誤情況和原因進行了分析并反思自己的教學，從而產生了一些思考。

關鍵詞：數學教學； 幾何題

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1006-3315（2014）06-011-002

題目：已知正方形ABCD，E是BC上一點，F是CD上一點，且∠EAF=45°，求證EF=BE+DF

一、錯誤分析

1.基本思路未形成

結論是一個不對稱式，解決的思路是化成對稱式。方法有兩種，①是將等式左邊的EF分成兩段分別證與等式右側兩段分別相等。②是將等式右側的兩條線段合成一條線段與等式左側相等。解答中，學生選擇①，在EF上取點G，使EG=BE。然后認為一定能夠能證明，麻醉自己，得證。

2.基本思維不能突破

從心理學角度講在原有圖形上添設輔助線條件容易想到，拓展在圖形外添設輔助線這一點很難突破，這也是學生為什么只是作AQLEF或EG=BE連AG的重要原因，基本思維學生有待突破。

二、教學反思

上述出現的問題，對教師提出了一定的要求。筆者在讓學生突破上述兩個問題時，除了加強對證明的思路的培養外，更要加強學生解決問題途徑的拓展及思路的引導。如何添設輔助線在此類問題中感覺到尤為的重要。下面通過一些例題，談談如何利用旋轉變換作輔助線解決此類問題。

通過添設適當的輔助線，將圖形中分散、遠離的元素，通過變換和轉化，使它們相對集中、聚攏到有關圖形上來，使題設條件與結論建立邏輯關系，從而推導出要求的結論。旋轉變換就是當圖形具有鄰邊相等這一特征時，可以把圖形的某部分，繞相等鄰邊的公共端點旋轉到另一位置的引輔助線方法。旋轉變換主要用途是把分散元素通過旋轉集中起來，從而為證題創造必要的條件。旋轉變換經常用在等腰三角形、等邊三角形及正方形中。

1.用旋轉變換添設輔助線在等腰三角形中應用

例1：已知，如圖2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D為BC邊上任一點。

求證：2AD2=BD2+CD2

分析：由于求證的結論中出現的三條線段不集中，如圖3，可以把△ABD繞點A逆時針旋轉90°得△ACE，從而使三條相對應的線段都出現在△DEC中，從而得證。當然還可以把△ADC繞點A順時針旋轉90°也可。

2.用旋轉變換添設輔助線在等邊三角形中應用

例2：已知如圖4，P是等邊△ABC內一點，且PA=3，PB=4，PC=5。 求∠APB的度數。

分析：PA，PB，PC三邊為3，4，5，是一組勾股數，但不組成直角三角形。因此我們設法用旋轉組成直角三角形。如圖5，把△APB繞A點旋轉60°到△AGC，則∠APB=∠AGC，連結PG，可證△PGC三邊為3，4，5，得直角三角形，∠APB=∠AGC=150°可求。

例3：已知，如圖6，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB>CD，AD= BC，對角線AC、BD相交于O，∠AOB=60°，且E、F、M分別為OD、OA、BC的中點，求證：△MEF是等邊三角形

分析：題中要證△MEF是等邊三角形，例2中的圖形輔助線可以給我們啟發，如圖7構造類似的圖形，通過找DB，OB的中點Q，N，連接FN，MN，MQ。通過證明能得△MNQ為等邊三角形，△FNM≌△EQM，從而得到△MEF是等邊三角形。這道題的方法比較多，這是其中利用旋轉理念解決問題的一種方法。

3.用旋轉變換添設輔助線在正方形中應用

篇首題目就是一個經典的例子，如圖8分析：將Rt△ADF繞點A旋轉90°使F旋轉至G，證明△AGE≌△AFE，即證EF=GB+BE=BE+DF

例3：如圖9，在正方形ABCD中，E為AD上一點，BF平分∠CBE交CD于F。

求證：BE=CF+AE

分析：結論中的線段比較分散，如圖10，可以通過把△BCF繞B點旋轉90度到△BAF’，再通過證明∠F’=∠EBF’得F’E=EB，從而得證。

以上問題均是利用旋轉使問題得到解決。旋轉是指在原題的基礎上把原題的一部分或幾部分繞某一頂點旋轉圖形，旋轉的圖形、角度、頂點都是由原圖特征確立的。一般的來說，旋轉主要是使一些有相近特征的圖形并在一起，以便作共同特征的利用。通常旋轉針對一些有相等條件（嚴格的可供旋轉）的圖形的輔助線的添設。

三、提煉思想

思想方法是以知識為載體，在運用知識解決問題的過程中積累而形成的，它的價值不亞于知識本身。利用旋轉來添設輔助線是一個非常重要的思想方法，就是轉化的思想。就輔助線的添設而言，為什么要進行這樣的添設，其實他是有一個內驅力的，這個內驅力就是數學思想方法轉化的思想方法，對于學習其他知識也是非常有幫助、有借鑒之處的。

變幻無常的幾何題，是許多學生頭疼的問題。不是因為幾何題本身，而是由于它需要變幻無常的輔助線。輔助線，猶如一個虛設的橋梁，只要你正確的“搭出”，一切問題便可迎刃而解。由此說來，輔助線至關重要。而“搭”輔助線，卻是幾何學又一難點。筆者剛才就利用圖形的旋轉來添設輔助線做了一些探究，只是一次拋磚引玉。和同行們一起探索如何指導學生添設好輔助線，從而為學生學好幾何打下一個很好的基礎。