“實變函數”課程教學改革探討

摘要：“實變函數”是大學數學專業本科課程中的一門重要基礎課。深化“實變函數”課程教學改革是大學數學專業發展的需要、是社會發展的需要、是推動素質教育的需要。從教學內容、教學方法和考核方式三個方面探討了“實變函數”課程的教學改革。

關鍵詞：課程改革；教學改革；實變函數

中圖分類號：G642.0 文獻標識碼：A 文章編號：1007-0079（2014）23-0082-02

“實變函數”主要是由法國數學家Lebesgue于19世紀末、20世紀初創立的。它是大學數學專業本科課程中的一門重要基礎課，可以拓展大學生的數學知識面，培養大學生的創新意識，提高大學生的抽象思維能力，深化大學生對現代分析數學理論的理解。它是普通微積分學的延續，其主要內容是克服了Riemann積分的缺點、以Lebesgue測度理論為基礎的Lebesgue積分理論。[1]它是從事數學教學和科學研究必不可少的基礎課程，其理論已被廣泛應用到基礎數學和應用數學的許多分支，諸如復分析、泛函分析、算子理論與算子代數、微分方程、概率論等。

“實變函數”是數學專業課程中既難教又難學的一門課程。它的諸多思想方法源于數學分析，然而又高于數學分析。該課程理論性強，內容抽象且對初學者的基礎知識要求較高，其難度較高。另外，隨著高等教育的普及化，數學專業的大學生成倍、甚至幾十倍增加，學生的整體學習水平較之從前有了較大的下滑。[2]目前大部分高等院校的“實變函數”教學都面臨著以下困境：教師投入的時間和精力越來越多，而學生的學習積極性和學習效果卻越來越差；期末考核難度越來越低，而學生的考核成績卻越來越差。從教學內容、教學方法和考核方式三個方面探討了“實變函數”課程的教學改革。

一、教學內容

1.“實變函數”的教學內容是一個動態概念

一方面，“實變函數”的教學內容在不同歷史時期是不同的，在不同的院校也是不同的。20世紀70年代，“實變函數”教學主要是在大學基礎數學專業中開展，其內容是全面的集合論、測度論和積分論，講解過程中強調嚴謹的推理和證明。目前絕大部分高等院校的數學專業都已經開設了“實變函數”課程，其中大部分工科類院校的實變函數主要是介紹相關的概念和常識，講解過程中強調證明思想和證明方法。另一方面，“實變函數”的教學內容以課程定位為基礎，需要在教與學的實踐過程中不斷完善和發展。準確的課程定位是課程改革和教學改革成功的前提，[2，3]是撰寫教學大綱和授課計劃的基礎。即使有了一份定位準確的教學大綱和一份合適的授課計劃，如果在講授過程中不能根據學生的學習情況進行合理調整，而只是嚴格按照教學大綱和授課計劃進行教學，那么必然不會達到理想的教學效果。要保持良好的教學效果，就要根據教與學的實踐情況不斷對教學內容進行完善和發展。從這個意義上講，“實變函數”的教學內容也不是一成不變的，它是一個動態的概念。

2.“實變函數”的內容抽象，初學者往往會感到枯乏難懂

為了激發學生的學習興趣，筆者在教學內容中合理地植入了一些問題的研究背景和Hilbert等數學家的傳奇人生故事。實變函數中許多定理的證明思想美妙而獨特，證明過程卻繁冗而復雜。教學過程中如果過于堅持嚴謹會使學生產生厭倦甚至選擇放棄。[4]為了增加趣味性，筆者將教學內容中的一些定理證明過程調整為證明思想和方法的講解。習題是課本內容的延續和補充，它可以幫助學生加深對教學內容的理解，習題課是教學內容不可或缺的一部分。實變函數課本中的習題大部分都是難度較大的典型題目，其中分析題較多。為了讓習題更加貼近授課內容，讓學生能夠積極思考實變函數的相關問題，筆者在課本習題中增加了若干易于學生上手的過渡性習題。這些對傳統教學內容的變革，在“實變函數”教學過程中取得了較好的效果。

二、教學方法

“實變函數”課程教學往往采用“滿堂灌”式的板書教學，課堂是教師一個人的舞臺，學生只是被動的接受。這種傳統的教學方式必然會影響到教學效果，在“實變函數”課程教學改革過程中應該重視教學方法的改革。在教學過程中，筆者將多媒體和板書組合使用，注重和學生交流互動，將教學與科研相互結合，采用了教學內容的分層教學法。

第一，伴隨著教育現代化，計算機已經融入到大學課程的教學之中。在“實變函數”教學過程中，合理使用多媒體可以拓展課堂上有限的時間和空間，切實提高教學質量。“實變函數”多媒體教學需要和板書教學有機的組合使用。基本概念、定理、性質、圖像等都可以使用多媒體呈現，這樣既節省了課堂上有限的時間和空間，又提高了教學內容的閱讀性。而理論性的推導過程和證明的思想方法仍然需要通過板書呈現，這樣可以培養學生的邏輯推理能力和抽象思維能力。

第二，實變函數是數學分析的延續，是“泛函分析”等課程的基礎。在“實變函數”教學過程中，合理類比這些學科的相關知識點，可以促使大學生形成完整的知識面，加深對“實變函數”課程的理解，也可使大學生認識到該課程的重要性。例如在講授“實變函數”課程中抽象度量空間的距離概念時，筆者將度量空間中的距離概念與直線上兩點之間的距離進行類比，學生容易發現前者是后者的推廣，從而比較容易理解和接受度量空間中的距離概念，取到了較好的教學效果。

第三，目前在大多數高等院校中，實變函數的主講教師都具有碩士或者博士學位，在相關專業方向也都具有一定的科學研究背景。在“實變函數”教學過程中，教師應該將教學與科研相結合，利用科學研究的成果深化“實變函數”教學，通過“實變函數”教學促進科學研究。在課堂上，提出與教學內容相關的科研問題，并且讓學生參與到問題的談論和研究之中。這樣可以激發學生的學習興趣，培養學生的創新意識，幫助學生樹立從事科學研究的理想。

第四，授課內容的分層教學是指將授課內容由淺入深、由簡單到復雜合理分層，再循序漸進引導學生學習。例如可測集類這一章節的主要教學內容是介紹n維歐幾里得空間中可測集。教學中，筆者先從最簡單的零測度集出發，然后過渡到區間和開（閉）集合，再延伸到Borel集，最后和學生一起利用Borel集和零測度集來討論可測集的構造。通過由易入難的分層教學，往往可以收到較好的教學效果。

三、考核方式

教與學的真實效果需要通過考核來檢驗，考核是“實變函數”課程教學過程中的一個必不可少的重要環節。建立合理的考核體系是實現考核目標的前提。在“實變函數”課程的平時成績測算過程中，筆者綜合考慮了學生的考勤、作業、課堂討論、聽課記錄以及平時測驗等因素，將學生的平時表現分別細化和量化并且加權平均產生平時成績。對于“實變函數”課程的期中和期末考核，筆者采用了卷面考核（開卷或閉卷），也嘗試了問答型口試考核。最后，將平時成績、期中成績和期末成績進行合理的加權平均產生期末總評成績。

四、結束語

以上是筆者從教學內容、教學方法和考核方式三個方面對“實變函數”課程教學改革的幾點思考。教學過程中仍需具體問題具體分析，根據實際的教學情況靈活處理。

參考文獻：

[1]程其襄，張奠宙，魏國強，等.實變函數和泛函分析基礎[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]關洪巖，郝妍，張明.實變函數論的教學改革[J].沈陽師范大學學報（自然科學版），2012，30（1）：115-118.

[3]童武.關于《實變函數》課程建設的實踐與思考[J].首都師范大學學報（自然科學版），1998，19（1）：15-19.

[4]劉曉波.“教學做合一”理論在實變函數課程教學中的實踐[J].高等理科教育，2013，110（4）：82-85.

（責任編輯：孫晴）