談二次函數解題方法

平時在做函數解答題時，你是否留意過常考的函數有哪些?你總結過以這些函數為考查主體的函數解答題的求解技巧嗎?處處留心皆學問，時時答題要總結.如果這部分內容還是你復習的死角和盲區，那就認真看看老師們給出的錦囊妙計吧!

高考對二次函數的考查主要體現在兩個方面：一是對二次函數的圖像和性質本身的考查，包括二次函數的單調性、最值、圖像的對稱性等；二是對二次函數與其他知識交匯問題的考查，包括二次函數與導數、函數零點、不等式等知識的交匯.

一、二次函數在給定區間上的最值問題

例1 已知函數f（x）=-x2+2ax+1-a在區間[0，1]上的最大值為2，求a的值.

解 函數f（x）=-x2+2ax+1-a =-（x-a）2+a2-a+1，對稱軸方程為x=a.

①當a<0時，f（x）在[0，1]上遞減.∴ fmax（x）= f（0）=1-a =2.∴a =-1.

②當0≤a≤1時，f（x）在[0，a）上遞增，在[a，1]上遞減.∴ fmax（x）= f（a）=a2-a+1=2.∴a =（舍去）.

③當a>1時，f（x）在[0，1]上遞增.∴ fmax（x）= f（1）=a.∴a =2.

綜上可知，a=-1或a=2.

小結 影響二次函數在給定區間上的最值的因素有拋物線的開口方向、對稱軸的位置以及給定的區間，同學們在求解時要注意數形結合思想的運用.如果拋物線的開口方向、對稱軸的位置或給定的區間不確定，就需要進行分類討論.

二、二次函數圖像的應用

例2 設函數f（x）=，g（x）=ax2+bx（a，b∈R，a≠0）.若y= f（x）的圖像與y=g（x）的圖像有且僅有兩個不同的公共點A（x1，y1），B（x2，y2），請證明下列結論：

當a<0時，x1+x2>0，y1+ y2<0；當a>0時，x1+x2<0，y1+ y2>0.

證明（證法1）令 =ax2+bx，則1=ax3+bx2（x≠0）.設F（x）=ax3+bx2，則F′（x）=3ax2+2bx.令F′（x）=3ax2+2bx=0，則x=-.要使y= f（x）的圖像與y=g（x）的圖像有且僅有兩個不同的公共點，只需F（-）=a（-）3+b（-）2=1，整理得4b3=27a2，于是可取a=±2，b=3來研究.當a=2，b=3時，2x3+3x2=1，解得x1=-1，x2=，此時y1=-1，y2=2，則x1+x2<0，y1+ y2>0；當a=-2，b=3時，-2x3+3x2=1，解得x1=1，x2=-，此時y1=1，y2=-2，則x1+x2>0，y1+ y2<0.

（證法2）令f（x）= g（x），得 =ax+b.設y′=，y′′=ax+b，不妨設x10時，如圖1所示.此時|x1|> |x2|，即-x1>x2>0，此時x1+x2<0，y2= >- =-y1，即y1+ y2>0.同理，由圖2經過推理可得當a<0時，x1+x2>0，y1+ y2<0.

小結 對二次函數圖像的運用，同學們應主要從兩個方面來考慮：一是定性分析，確定圖像的上升（下降）趨勢；二是定量計算，將圖像交點個數等問題轉化為數量關系問題來處理.

三、三個“二次”的交匯問題

例3 已知函數f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域為[0，+∞），若關于x的不等式f（x）< c的解集為（m，m+6），求實數c的值.

解 由于f（x）的值域為[0，+∞），所以f（x）的圖像與x軸有且只有一個公共點.于是有Δ=a2-4b=0，即b=.所以f（x）=x2+ax+b=x2+ax+ =（x+）2.

由f（x）=（x+）2由于不等式f（x） 小結 本題利用判別式，結合圖像將二次函數的值域轉化為系數a，b的關系，再通過配方，得到一元二次不等式的解集.函數圖像和判別式是聯系二次函數、一元二次方程和一元二次不等式的紐帶，當三者之間的關系需要轉化時，要結合圖像，利用判別式來處理.

四、二次函數與導數的交匯問題

例4 已知函數f（x）= x3+（1-a）x2-3ax+1，a>0.

（1）證明：對于正數a，存在正數p，使得當x∈[0，p]時，有-1≤ f（x）≤1.

（2）設（1）中的p的最大值為g（a），求g（a）的最大值.

（1）證明：由于 f ′（x）=3x2+3（1-a）x-3a =3（x+1）#8226;（x-a），且a>0，所以f（x）在[0，a）上單調遞減，在[a，+∞）上單調遞增.

又f（0）=1，f（a）=- a3- a2+1=（1-a）（a+2）2-1，所以

當f（a）≥-1時，取p=a，此時，當x∈[0，p]時，有-1≤ f（x）≤1成立.

當f（a）<-1時，由于f（0）+1=2>0，f（a）+1<0，所以存在p∈（0，a），使得f（p）+1=0.此時，當x∈[0，p]時，有-1≤f（x）≤1成立.

綜上可知，對于正數a，存在正數p，使得當x∈[0，p]時，有-1≤ f（x）≤1.

（2）解：由（1）可知f（x）在[0，+∞）上的最小值為f（a）.

當0a的實根，即2p2+3（1-a）p-6a=0滿足p>a的實根，所以g（a）=.

又g（a）在（0，1]上單調遞增，故gmax（a）=g（1）=.

當a>1時，f（a）<-1.由于f（0）=1，f（1）=（1-a）-1<-1，所以[0，p]?奐[0，1].此時，g（a）≤1.

綜上所述，g（a）的最大值為.

小結

本題的第一問對三次函數求導后，得到的導函數是二次函數，該二次函數的正負決定三次函數的單調性；本題的第二問確定g（a）的解析式主要是通過求二次方程的根進行的，而研究g（a）的性質則主要是通過對二次函數性質的分析進行的.