淺談變速圓周運動的臨界條件

圓周運動是曲線運動。做圓周運動的物體受的合力與速度不共線（或者說它們之間有一定夾角⊙，且00<⊙<1800），如圖1，O是物體做圓周運動圓心，F是其受到的合力，根據F產生的效果可以將其分解為兩個相互垂直的分力：跟圓周相切的切向分力Ft和指向圓心方向的法向分力Fn。Ft產生的是沿圓周切線方向的加速度，即切向加速度at。它與物體速度方向一致，用來改變物體速度的大小，改變物體的動能，對物體做功。Fn產生的是沿半徑指向圓心的加速度，即法向加速度an。它與物體速度方向垂直，其表現是只改變物體速度的方向，不改變物體的動能，對物體不做功。由此可以得出：

只有an的圓周運動是勻速率圓周運動。

既有an又有at的圓周運動是變速圓周運動。

下面來分析求解幾種變速圓周運動模型的臨界條件

（一）繩模型：

用一長為L的輕繩拴著一個質量為m的小球在豎直平面內做圓周運動，如圖2，不計空氣阻力，求小球到達最高點A的臨界速度。

解析：由于繩對小球不會產生支撐力，只能產生沿著繩指向圓心的拉力，所以小球在A點的受力如圖（a）；

由圓周運動規律：G+F=mv2/L ------- ①

對①式分析知，當繩上的拉力F剛好等于零時，小球在最高點A的速度有最小值，即 V= 。我們把這個速度稱為小球恰能通過最高點的臨界速度V臨界= 。

由臨界速度我們可以推得：

0

v> 時，繩對小球產生的是沿繩指向圓心的拉力F，F隨v的增大而增大。

下面我們再來看當小球恰能通過最高點A時，相應的來到最低點B時的速度VB和此時繩上產生的拉力FB怎樣求？那這個速度和拉力有什么特點？小球在B點的受力如圖（b）；

根據圓周運動規律：FB-G =mVB2/L ------- ②

又因小球從A點運動到B點的過程中，只受重力和繩的拉力，拉力始終沿繩指向圓心，對小球不做功，只有重力做功，滿足機械能守恒。選B點所在處為零勢面，由機械能守恒： 2＋mg.2L= mVB2------- ③

由②③求得：VB=

FB =6mg

由上面的求解過程知道：這個速度和拉力是小球能夠做圓周運動情況下，在B點的最小速度和拉力。

（二）桿模型：

如圖3，用一個長為L的輕質細桿，在其末端固定一個質量為m的小球，使其繞圓心O在豎直平面內做圓周運動，不計空氣阻力，求小球在最高點A的臨界速度。

解析：桿不同與繩的是它既可以產生豎直向上的彈力，也可以產生沿著桿指向圓心的拉力，所以小球在最高點A的受力可能會出現兩種情況，即圖（c）、（d）。在圖（c）中，小球在A點的向心力由重力G和桿對小球豎直向上的彈力F1的合力來提供。即：G – F1 =mv2/L ---------- ④

在圖（d）中，桿對小球產生的是沿著桿指向圓心的拉力，即G＋F2= =mv2/L ------------- ⑤

由④⑤兩式分析得到，當F1=G時，V=0，是小球到達最高點A的最小速度，即小球恰能通過最高點的臨界速度V臨界=0。

當F1=F2=0時，V= 。此時桿對小球既不拉也不壓，只有重力來提供小球在A點需要的向心力。

由此我們可以得到小球在最高點的速度和桿對小球產生的力有以下規律：

0≤V﹤ 時，桿對小球產生的是豎直向上的彈力F，F隨V的增大而減小，且

0＜F≤G。

V= 時，桿對小球無力的作用，只有重力提供小球所需要的向心力。

V＞ 時，桿對小球產生的是沿著桿指向圓心的拉力F，F隨V的增大而增大，且F＞0

同樣，當小球在A點的速度為零時，它運動到B點時有最小速度VB和繩對小球的最小拉力FB，設B點為零勢面，根據機械能守恒和圓周運動規律有：

0+mg2L= mVB2------------- ⑥

FB-G= mVB2/L ------------- ⑦

由⑥⑦兩式得：VB=2gL FB＝5mg

通過以上對桿、繩模型的分析求解可知，變速圓周運動中只有重力做功時，物體由最高點運動到最低點的過程滿足機械能守恒，同時結合圓周運動規律，就可以求解最高點和最低點的相關物理量。例如設質量為m的物體在最高點的速度為V1，繩（或桿）上的彈力為F1，在最低點的速度為V2，繩（或桿）上的彈力為F2，則有：

mV12＋mg.2R= mv22（R為物體所做的圓周的半徑）

G+F1= mV12

F2－G= mV22

以上這三個方程涉及到四個物理量，但只要知道其中一個就可以根據方程求得另外的三個。

例題：長度為L=0.50m的輕質細桿OA，A端有質量為m＝3.0kg的小球，如圖4，小球以O為圓心在豎直平面內做圓周運動，通過最高點時小球的速率2.0m/s，g取10m/s2，則此時細桿OA受到（）

A6.0N的拉力B6.0N的壓力C2.4N的拉力D2.4N的壓力

解析：首先確定這是桿模型，其次題目給定圓周運動的半徑L，故可以求出：V＝ ＝ m/s＝ m/s

再次判定小球在最高點的真實運動速率處于哪個范圍：

∵ 0<2.0m/s< m/s

即0<2.0m/s< m/s

∴ 在最高點時桿對小球產生的是豎直向上的彈力，根據牛頓第三定律小球對桿產生的是沿桿指向圓心O的壓力，由此排除A、C

對小球在最高點受力分析，如圖（e），根據圓周運動規律有：

G – F =mv2/L

則 F= G –mv2/L=（3.0*10- ）N＝6.0N

答案：B

（三）管道模型：

如圖5所示，管道半徑為R，小球質量為m半徑為r，且r<

V≥ 時：小球受到管道外壁下側對其產生的沿半徑指向圓心的彈力F，且F的大小隨V的增大而增大，F的取值范圍F≥0，其中V= 時，“＝”取得。

管道是集桿和繩于一體的模型，情況相對較復雜，從以上的分析看，處理這類問題時關鍵是理清題目思路，對運動物體在最高點和最低點列出滿足條件的方程。在此提示大家繩和桿的區別：繩可以拉，但一定不會壓；桿可拉可壓，也可以不拉不壓。