相干信號MUSIC譜估計的空間平滑技術

【摘要】 相干信源DOA估計是陣列信號處理的一個研究熱點。以MUSIC算法為代表的子空間類高分辨DOA估計算法對于非相干或相關程度較小的空間信源具有良好的分辨性能，且運算量較小。但它們優良的分辨性能卻會隨空間信源間的相關程度的增加而逐漸惡化，直至失效。本文對空間前向平滑技術和前/后向空間平滑技術了深入的研究和仿真，仿真結果表明該算法對相干信源的DOA有較好的估計性能。

【關鍵詞】 MUSIC譜 相干信號 空間平滑技術 DOA估計

一、引言

無線電測向定位是廣播電視監測系統的重要功能，通過測向天線、接收機以及相關的信號處理設備，運用不同測向機制和算法對來波信號進行測量和處理，根據算法處理結果獲取來波方向并測定被測無線電臺的所在方位和地理位置。

基于陣列信號處理的測向算法是無線電測向的核心技術，優良的測向算法可以快速準確的計算測向天線接收信號的示向度、仰角等信息，并對信號發射源進行精確定位。類似于時域信號的傅里葉譜估計方法，對于空域信號的譜估計算法自上世紀七十年代以來得到了很大的發展，其中最具代表性的是1979年R.O. Schmidt提出的MUSIC算法[1]，該算法通過對陣列接收數據的特征值進行分解，將陣列接收數據分為信號子空間和噪聲子空間，利用兩個子空間的正交特性使空間譜圖上顯示出尖銳的峰值，從而實現來波方向的精確估計。

1991年美國Unisys國防公司推出了船載短波測向系統，1994年美國Watkins-Johnson公司推出了WJ-9010短波測向設備，2003年德國RS公司也推出了具有超分辨能力的測向系統。這些系統都驗證了空間譜估計測向的超分辨能力，并且具有較強的多信號測向能力。國內某高校在20世紀90年代對空間譜估計的測向技術進行了系統的算法理論研究、硬件設計試驗，建立了一套天線陣為8陣元的超短波測向實驗系統，實驗效果能夠基本滿足短波測向的功能需求[2，3]。2000年左右，某軍工廠又研制了一套基于MUSIC算法的短波空間譜估計測向系統，是國內首套實際應用的空間譜估計測向系統，該系統各項技術指標很高，實際應用效果也非常好。隨著無線電監測技術的發展，基于智能天線和空間譜估計的新型測向體制將會得到廣泛的應用，因此有必要對基于空間譜估計的測向定位算法進行深入研究。

多徑干擾一直是信源定位技術的主要制約因素。由于短波信號的特性復雜多變，在接收頻帶內往往存在其它的干擾信號，目前的空間譜估計算法對于這種相干信號的DOA估計問題尚不能有效解決，因此有必要對相干信號的空間譜估計算法進行深入研究并加以改進。

二、基于MUSIC算法的DOA估計

如圖1所示，以M元等距線陣為例，如果陣列上有K個入射信號s1（t）， s2（t）， …， sK（t）則M元陣列所接收的輸入信號可寫為以下向量形式：

其中：陣列接收的輸入信號，是來波入射信號；是加性噪聲信號；是第k個來波信號的方向矢量。

輸入信號的協方差矩陣Rxx可以表示為：

式中， 是輸入信號的相關矩陣，是噪聲方差。

假設Rxx的特征值從大到小排列為λ1，λ2，…，λM，則λ1，λ2，…，λM對應的特征向量q1，q2，…，qM，屬于信號子空間，λK+1，λK+2，…，λM所對應的特征向量qK+1，qK+2，…，qM屬于噪聲子空間，將對應于噪聲的特征向量構成矩陣：

當入射信號方位角為θ時，根據信號和噪聲子空間的正交特性，有。

因此，MUSIC空間譜定義為[1]：

根據上式，在未知來波信號方向的情況下，可以在360°的平面空間進行掃描，由于在達到來波方向時，上式中分母幾乎為零，空間譜上會出現尖峰，空間譜的各個峰值對應的角度就是各入射信號的波達方向θk。

三、空間平滑技術

MUSIC算法需要滿足入射信號彼此非相關這一條件，保證信源的協方差矩陣是滿秩的，這是進行 MUSIC 法對陣列接收信號的協方差矩陣進行特征分解的基礎。對于彼此相干或者高度相關的多個入射信號，例如當同一信號的幾個多徑分量以不同方向到達陣列的情況，MUSIC算法將無法有效工作[4]。通過空間平滑預處理的方式來修正輸入信號的協方差矩陣，可以使MUSIC算法得以有效應用。

3.1前向空間平滑技術

前向空間平滑是將M個陣元的均勻線陣按圖2的方法劃分為p個子陣，由m個陣元組成一個子陣，M=p+m-1，信號源為K個。

各個子陣的輸出矢量分別為：

，，…，

對于第l個子陣有：

其中：

第l個子陣的數據協方差矩陣為：

式中，是第一個子陣接收信號的導向矢量矩陣，為第一個子陣接收信號的協方差矩陣，。

對所劃分的各子陣的協方差矩陣求均值，來獲得一個修正的協方差矩陣，這種空間預處理的方法就是前向平滑技術[5]：

通過在空間上的前向平滑預處理，只要滿足p≥K，無論陣列的輸入信號是否相干，都是滿秩的，都可應用MUSIC算法對其進行特征分解。

采用MATLAB對是否采用前向空間平滑技術的MUSIC算法進行仿真，入射信號及其采樣的基本參數如表1所示，其中信號s3為信號s1的2倍，這兩個信號相位相同，為典型的相干信號。仿真中采用9陣元的均勻線陣，陣元間距為半個波長（0.6m），前向空間平滑將陣列劃分為相互重疊的5個子陣，每個子陣由相鄰的5個陣元組成，陣列接收信號為入射信號加高斯白噪聲。仿真中對是否采用前向空間平滑技術的結果進行了對比。

圖3表示入射信號為s1和s2時，由于兩個入射信號彼此非相干，因此是否采用前向空間平滑技術都能在空間譜圖上分辨出兩個信號不同的方位角。圖4表示入射信號為s1和s3時，由于兩個入射信號彼此相干，在空間譜圖上不采用空間平滑技術的MUSIC算法已經完全無法分辨入射信號波達方向，而采用前向空間平滑技術的MUSIC算法則能清晰地分辨出兩個信號不同的方位角。

3.2前/后向空間平滑技術

和前向空間平滑類似，后向空間平滑將天線陣元按圖5所示來劃分。

各子陣輸出矢量為：

第l個子陣的數據矢量為：

比較前向平滑和后向平滑的子陣接收數據，后向平滑的第個子陣的數據矢量和前向平滑的第個子陣的數據矢量可按下式進行變換：

其中J為的置換矩陣。。

第p-l+1個子陣的輸入數據協方差矩陣為：

各個子陣列輸入數據協方差矩陣的平均值為：

上式得到的為后向空間平滑的協方差矩陣。

再對前向、后向兩種空間平滑方法所得到的輸入數據協方差矩陣取平均：

即前/后向空間平滑的協方差矩陣[5]。

采用MATLAB對是否采用前/后向空間平滑技術的MUSIC算法進行仿真，入射信號及其采樣的基本參數如表1所示，仿真中仍然采用9陣元的均勻線陣，陣元間距為半個波長（0.6m），前向空間平滑和后向空間平滑分別將陣列劃分為相互重疊的5個前向子陣和5個后向子陣，每個子陣由相鄰的5個陣元組成，陣列接收信號為入射信號加高斯白噪聲。仿真中對是否采用前/后向空間平滑技術的結果進行了對比。

圖6表示入射信號為s1和s2時，由于兩個入射信號彼此非相干，因此是否采用前/后向空間平滑技術都能在空間譜圖上分辨出兩個信號不同的方位角。圖7表示入射信號為s1和s3時，兩個入射信號彼此相干，在空間譜圖上不采用空間平滑技術的MUSIC算法已經完全無法分辨入射信號波達方向，而采用前/后向空間平滑技術的MUSIC算法則能清晰地分辨出兩個信號不同的方位角。

另外，對于相干信號的DOA估計，采用前向空間平滑和前/后向空間平滑技術的原理相同，都是為了保證對于相干信號采用MUSIC算法時能有一個滿秩的協方差矩陣，但是采用前/后向空間平滑技術從理論上來說更能保證這一條件，只是增加了運用MUSIC算法進行DOA估計的計算量。

四、總結

MUSIC空間譜估計的局限性在于對相干信號無法處理，而空間平滑技術能夠使入射相干信號的特征值矩陣滿秩，從而拓展了MUSIC空間譜估計算法的應用范圍，本文對空間平滑技術的仿真結果證明了這一點。需要指出的是，空間平滑技術是基于等距線陣的陣列結構，對于均勻圓陣由于陣列流型不滿足范德蒙結構，需要先將其變換成模式空間的虛擬均勻線陣，再應用空間平滑技術。