解析機械優(yōu)化設計中MATLAB的應用

童賢華

摘要

MATLAB在機械優(yōu)化設計中發(fā)揮著重要作用，首先對其優(yōu)化工具做了簡單介紹，然后闡述了其優(yōu)化工具箱函數，最后結合實例對其實際應用進行了分析。

關鍵詞 機械化設計；MATLAB優(yōu)化工具箱；線性規(guī)劃

引言

隨著生產要求及精確度的提高，需對機械做進一步優(yōu)化，即在特定的環(huán)境和負荷下，對機械的尺寸、規(guī)格、性能等因素加以改進，通過變量的設計，構建相應的目標函數并求得最優(yōu)解，達到以最少消耗獲得最大效益的效果。相關研究愈來愈多，出現了多種優(yōu)化方法，但對應用范圍均有限制。MATLAB優(yōu)化工具箱可直接為技術人員提供有用的優(yōu)化函數，其語法簡單，輸入初始參數時無需繁雜程序，加上編程工程量較少，在當前機械優(yōu)化設計中的作用日益突出，應用越來越廣泛。

1．MATLAB語言及其優(yōu)化工具

MATLAB語言是美國研制的一款實用數學軟件，集矩陣計算、數值分析、數據可視化、系統(tǒng)建模等功能于一體，在機械優(yōu)化設計、數據統(tǒng)計、流體力學、圖像處理等領域起著重要作用。該軟件摒棄了以往的程序語言編輯模式，在當前十分先進，可用于解決較為復雜的工程問題。另外，根據其自身功能，還可實現非線性動態(tài)系統(tǒng)的仿真，將計算結果直觀形象地呈現出來。其優(yōu)化工具箱包含二次規(guī)劃、曲線擬合、線性及非線性最小化、方程求解等問題對大型課題的解答方法，對解決實際問題創(chuàng)造了有利條件。

2．MATLAB優(yōu)化工具箱函數

2.1 線性規(guī)劃函數的求解

在機械優(yōu)化中，線性規(guī)劃指的是屬于優(yōu)化變量的線性函數，即便有約束條件，函數也屬于優(yōu)化變量的線性存在等式或不等式的情況。遇到這種情況，通常會選擇使用MATLAB優(yōu)化工具箱中的linprog函數進行求解，關于線性規(guī)劃求解的方法有很多，單純形法較為常用，效果也高。

2.2 無約束非線性規(guī)劃函數的求解

非線性規(guī)劃指的是在約束函數或目標函數中有若干非線性函數生成的情況。在求解無約束優(yōu)化問題時，通常會采用兩種方法：一是梯度求解，二是直接搜索法。若目標函數中的非線性較為復雜，或導數求解難度較大，甚至沒有導數，遇此情況可選擇使用直接搜索法。單純形法的應用，不足之處在于收斂速度過慢。

2.3 有約束非線性規(guī)劃函數的求解

非線性約束規(guī)劃問題是MATLAB優(yōu)化工具箱解決最多的問題。相關算法較多，但使用范圍有限制，常常只能解決某一類的非線性規(guī)劃問題。傳統(tǒng)算法的原理為：通過懲罰函數對約束最優(yōu)化問題進行轉變，成為無約束最優(yōu)化問題后，進一步開展求解。由于無法適應當前要求，該方法易被代替，常用的是以K-T方程解為基礎的算法。K-T方程是非線性規(guī)劃算法的基礎，此類算法可以直接開展計算拉格朗日乘子，經過擬牛頓法的更新，為K-T方程積聚二階信息，確保有約束擬牛頓法的線性得到收斂。因每次重要迭代過程中需要求解一次二次規(guī)劃問題，故此類方法又叫做序列二次規(guī)劃法。

3．MATLAB在機械優(yōu)化設計中的實際應用

3.1 解決步驟

MATLAB優(yōu)化工具箱的應用多按照以下步驟進行：結合目標定義，考慮設計要求，對問題進行優(yōu)化，并指明優(yōu)化類型。分類時可能會遇到單目標和多目標、線性和非線性等情況，需加強對其具體情況的重視了解；確定優(yōu)化類型后，可開始構建相應的數學模型，選擇適宜的函數；進一步明確重點數據、設計初始點等要素；結合目標函數呈現出的形態(tài)，預設優(yōu)化選項；各項參數輸入并確定后，對函數程序加以調整；依據提示的信息，校正優(yōu)化現象的各項設置，確保其符合要求；對設計方案及優(yōu)化數據進行合理分析。

3.2 實際案例分析

某人字形鋼架由兩根鋼管組成，鋼管材料密度ρ為7.8 × 103kg/m3，彈性模量E為2.1 × 105MPa，管壁厚度T為0.25cm，鋼架跨度2B ＝ 152cm，外力2F ＝ 3 × 105N。鋼管壓應力R在低于失穩(wěn)臨界應力和許用壓應力的基礎上，鋼管平均直徑D及鋼架的高h使得鋼管總質量達到最小值?？芍鋬?yōu)化問題為：x ＝ [D，h]T時，結構質量需滿足穩(wěn)定性約束條件R(x) ≤ Re(失穩(wěn)臨界應力）及強度約束條件R（x）≤ Ry（許用壓應力）。

① 設計變量的獲取

鋼管質量需在求得鋼管直徑的鋼架高度后進一步獲得，故可將平均直徑D及高架高度h作為設計變量，則可知：

X ＝ [x1 ，x2]T ＝ [D，h]T

② 目標函數的獲取

為求得鋼管質量的最小值，需構建以下的目標函數：

M（D，h）＝ 2πρTD（B2 ＋ h2）1/2

③ 約束條件的獲取

關于穩(wěn)定性約束條件，為R ≤ [Re],即：

≥

關于其強度約束條件，為R ≥ [Ry]，即：

≥ Ry

根據以往經驗，在10cm ≤ D ≤120cm ，且200cm ≤ h ≤ 1000cm時，其邊界約束條件為：

0 ≤ D － 10

0 ≤ 120 － D

0 ≤ h － 200

0 ≤ 1000 － h

3.3 數學模型的優(yōu)化

從上述計算分析中可知，該優(yōu)化問題實際是一個包含了6個約束的二維非線性優(yōu)化問題，經標準化后，將其所有函數表達式依次套入已知條件按中，可得到模型如下：

X ＝ [x1 ，x2]T ＝ [D，h]T

Minf(x) ＝ 1225224 × 10﹣3 x1

4．結束語

MATLAB優(yōu)化工具箱在機械優(yōu)化設計中起著重要作用，可對其中的復雜問題 加以有效分析并予以解答。優(yōu)化結果更加精確可靠，編程也簡單許多，進而提升了設計效率?；谶@諸多優(yōu)勢，有必要將該技術做進一步推廣使用。

5.參考文獻

[1] 張巖.MATLAB優(yōu)化工具箱在機械優(yōu)化設計中的應用[J].中國機械，2013，24（11）：109-110

[2] 黃勇，尹君馳.MATLAB在機械優(yōu)化設計中的應用[J].科技創(chuàng)新與應用，2012，28（23）：187-189

[3] 劉紅娟.MATLAB優(yōu)化工具箱在機械優(yōu)化設計中的應用[J].新技術新工藝，2012，22（8）：119-121

[4] 范婷婷.淺談Matlab優(yōu)化工具箱在機械優(yōu)化設計中的應用[J].機電信息，2013，24（18）：173-175