基于概率的由明暗恢復形狀的方法研究

吳海鵬 孔凡輝 高鑌 鄧倩

【摘要】從明暗恢復形狀（Shape-from-Shading：SFS）是利用單幅灰度圖像的明暗變化恢復物體三維表面形狀的技術。目前，關于SFS的研究主要集中在以圖像輻照方程為基礎的針對光照模型和偏微分方程求解策略的改進，而面向SFS問題的概率求解方法的研究還很少，國外一些學者雖然已開始嘗試用概率方法求解此類問題，但目前還未形成比較系統的研究框架。為此，本文擬對基于概率的SFS理論和求解方法進行分析梳理，研究構建基于概率的SFS問題的理論框架體系，探索滿足SFS應用需求的求解方法，以提高SFS的恢復精度。

【關鍵詞】Shape-from-Shading;概率;表面恢復

1.引言

三維重建是計算機視覺領域中的經典問題。由圖像恢復物體表面的三維形狀，是指利用物體的一幅或多幅圖像獲得該物體表面三維形狀信息的技術。圖像中的明暗信息是三維形狀恢復技術中非常有利用價值的線索。基于圖像中明暗信息的變化，美國麻省理工學院的Horn[1]提出了Shape-from-Shading（從明暗恢復形狀： SFS）技術，利用單幅圖像的明暗信息，實現了物體表面三維形狀信息的獲取。與其它的三維重建方法相比，SFS技術不需要復雜設備，具有良好的應用前景，在生產、生活、醫學、氣象、遙感以及國防軍事等領域均蘊藏著巨大的應用價值[2，3]。

目前的研究基本上集中在兩個點上：其一，是基于真實成像條件下的SFS方法的理論研究和算法實現，研究的主要問題包括光源屬性的估計，物體表面反射屬性的估計;其二，是關于SFS的新的求解計算方法的研究，以提高算法計算效率和解的精度。這兩個研究方向是從兩個不同的角度嘗試解決同一個問題——提高SFS的恢復質量。但是，直到現在還沒有哪一種方法能夠在速度、精度、適用性三個方面能夠同時滿足實際的應用需求，所以必須探索新的方法和途徑，以圖進一步使SFS的恢復質量得到提升。

2.概率框架下的表面恢復問題

待重構的物體表面可以用基于離散圖像空間的法向矢量序列來進行描述， 例如：，代表步長為的帶狀曲面，為帶狀曲面的起始表面法向矢量。于是，該帶狀曲面深度的離散演化形式可描述為：

其中，為根據表面法向矢量計算當前位置深度的計算函數，為調節因子。于是，表面形態的動態演化過程就由表面法向矢量來決定。在這一框架之下，算法的目標就是利用演化尋找一個表面法向序列，在條件先驗概率和條件先驗觀測概率（似然概率）（為圖像中的明暗信息）的基礎上，實現對表面形態的最優估計，并最終獲得表面的相對深度信息。

我們假設表面法向矢量的動態演化過程構成一個馬爾科夫鏈，所以，

即，下一步演化的表面法向矢量只依賴與它的前一個狀態，而與歷史狀態無關。

2.1 表面法向量概率分布模型

基于概率的SFS，實際上就是在概率的框架之下來確定物體的表面形態，公式的形式化描述如下：

這里，代表圖像平面位置所對應的表面法向矢量，代表該位置的灰度（亮度值）信息，代表表面法向矢量的后驗概率，代表灰度值的似然概率，代表該位置的表面法向矢量的先驗概率，這里我們把它稱為正則概率。

根據上面描述的概率公式，由貝葉斯原理可知待求解的表面法向矢量就是滿足后驗概率最大時的值。于是，問題就可以轉化為如何求后驗分布。可以注意到，的后驗概率由似然概率、先驗概率和正則概率來決定。其中，似然概率已經得到了比較充分的研究，在不同的光照模型下提出了一些常用的經典分布，比如Bechmann分布，高斯分布等。另外，對于正則概率，因為我們是在未知任何測量信息的情況下進行概率模型的構建，所以，我們可以在隱馬爾科夫模型的條件下用如下的公式進行簡化計算：

2.2 概率模型下SFS求解方法

圖像數據本身由于環境光照及采集噪聲的影響，會體現出顯著的不穩定性，為此，表面法向矢量表現為與明暗信息變化密切相關的隨機過程。所以，利用概率的方法實現SFS才有可能克服數據本身的不穩定性影響，從而提高表面恢復的準確性。在求解概率問題中，粒子濾波是一種蒙特卡洛模擬方法，通過離散采樣完成概率的分布計算，適用于非高斯、非線性條件下的概率計算問題。粒子濾波器的基本思想是蒙特卡洛模擬，其中系統狀態的后驗分布由一組帶有權重的離散采樣來表達。

粒子濾波算法主要涉及到三步：首先是采樣階段，其中一組新的粒子從提議分布中采樣出來，再根據觀測密度和貝葉斯定理計算各個粒子新的權重;然后輸出系統的狀態均值、協方差或更高階的矩;最后對這組粒子重新采樣以保證權重均勻分布。在條件概率密度傳播算法的采樣階段，提議分布取為狀態轉移先驗概率密度函數。

采用粒子濾波算法獲取表面法向矢量的后驗概率分布，出于以下三個方面的考慮：

（1）粒子濾波本身因為采用離散隨機采樣的思想，對噪聲的抑制能力較強。

（2）基于粒子濾波的表面生成和演化的過程中記錄了表面形態演化的歷史信息，有利于實現全局優化。

（3）粒子濾波由于其基本的計算過程均是以單個粒子為計算單位，所以易于在GPU和多核計算機上實現并行計算，從而可以有效地提高SFS的計算效率。

3.結束語

本文對基于概率的表面形態恢復方法進行了比較系統的闡述，認真分析了基于概率的SFS研究中的若干個重要的問題，并提出了基本的解決思路和研究途徑。

參考文獻

[1]Horn B K P.Shape from shading：a method obtaining the shape of a smooth opaque object from one view[D].Massachusetts：MIT，1970.

[2]郝平.基于圖像灰度的自由曲面重構算法研究[D].大連理工大學，2005.

[3]楊磊，韓九強.一種含有鏡面反射由明暗恢復形狀的新算法[J].西安交通大學學報，2007，41（4）：435-438.

本課題得到黑龍江省自然科學基金（編號：F201118，F201248）;黑龍江省教育廳項目（編號：12511393，12531485）及黑龍江大學數據庫與并行計算重點實驗室開放項目資助。

作者簡介：吳海鵬（1976—），男，主要研究方向：計算機視覺，無損檢測。