Lagrange插值法在電能計量中的應用

劉芳芳 張治銀 趙言濤

【摘要】文章提出了一種基于Lagrange插值法的電能諧波計量算法。分析了插值引起的諧波分量幅值誤差和相位誤差。通過仿真和理論擬合曲線，計算出各次諧波幅值和相位的理論誤差，并采用該方法修正實測值。

【關鍵詞】線性插值;諧波分量;曲線擬合;理論誤差

Abstract：This Article put forward a kind of power harmonic measurement algorithm，which based on lagrange interpolation method.The amplitude error and phase error of the harmonic component caused by interpolation is analysed.Through simulation and theory of fitting curve，the theory error of each harmonic amplitude and phase is calculated.Also the actuallly measured values is corrected based on the above method.

Key words：linear interpolation;harmonic component;curve fitting;theory error

引言

電能計量是為發電企業、輸配電企業、電力用戶之間進行貿易結算提供依據，它的準確與否直接影響到三者的利益以及交易的合理性。隨著電力電子技術的迅速發展，大量具有非線性特性的電力設備（如電氣化鐵路和電解工廠領域的大功率硅整流設備，煉鋼交、直流電弧爐，電石爐，感應加熱爐和交流逆變器裝置，大功率的電力拖動設備和電機變頻調速裝置等）投入電網運行，電網中出現大量的諧波，造成電力系統諧波污染，對電力系統的安全、穩定、經濟運行構成潛在威脅，給周圍電氣環境也帶來了極大影響，同時也對電能計量表的計量準確度提出了嚴峻挑戰。本文提出一種基于Lagrange插值法的準同步采樣諧波分析法，通過理論擬合曲線計算出各次諧波幅值的理論誤差，以便于很好的修正實測值的理論方法。

1.Lagrange插值法在準同步采樣中的應用

具有諧波分析及諧波能量計量功能的沖擊負荷計量裝置中。常常會采用傅立葉分析法進行分析處理，本文亦采用此種方法。而FFT方法要求波形的周期采樣點數N必須滿足N=2n，才能保證較高的分析精度，因此硬件實現同步整周期采樣是保證諧波分析及諧波能量計量精度的前提。但實際使用中，沖擊負荷表的采樣模塊采用的是固定采樣率（12.8KHz）模式，負荷實際頻率的波動會導致非同步采樣的結果。當實際頻率偏離理想的工頻頻率50Hz時，需要進行軟件插值來達到同步或者準同步的效果。設原模擬信號為：

（1）

并設為離散信號的頻率，為對應的周期，所得信號序列為，設為采樣頻率，為對應的采樣周期，則其理想的采樣序列應為：

（2）

由于常常不是整數，不能進行直接的抽取，因此可以對其相鄰的采樣點進行線性Lagrange插值。設，設是小于的最大整

數部分，是的小數部分，即。設插值所擬合的為多項式，有Vandermonde行列式：

（3）

可知，只要，有，于是方程組存在唯一解，也就是說插值多項式的唯一性保證了無論用什么方法滿足插值條件的多項式都是同一個多項式。因此，可以采用運行速度快，可以預知中間值，精度高的插值法。

設已知，則擬合的拉格朗日多項式為L（p），且滿足L（p）=，L（p+1）=幾何上，L（p）為過的直線，從而得到：

（4）

由于滿足方程既有拉格朗日插值法，可知：

（5）

以此類推，對于不相鄰區間可以采取以下推導：如果互不相關，那么對于就存在惟一的小于等于次的多項式利用該方程可獲得通過第+1個數據點的次多項式。真正的多項式是：

（6）

將每個數據點都作為一項。這時存儲編寫代碼就很容易，因為所有的點可以分解到：

（7）

這一步運算的可以做進一步化簡為：

（8）

假設除外的所有取樣點都已定義了一個多項式或函數，則有：

（9）

寫出只用于非零點的方程：

（10）

這樣就可以利用方程（10）對方程（9）做歸一化處理來得到方程（7）。

為了提高運行速度，由于中間值都可以預先知道，可以預先算出方程的這些值來減少插值計算時所需的運算量。采用該方法，只需要有限幾十條記錄的表格就能夠獲得其它線性插值法要用上千條記錄的表格才能夠達到的精度，并且速度還很快。

現用相鄰區間Lagrange插值法驗證上述問題研究。假設周期T的信號理想的采樣點數為N，實際的采樣點數為M，實際的采樣點值為S，插值后的采樣點值為S′，線性插值的流程為：

（1）求取M，設定N;

（2）采取每個點需要平移的平均量即：

（3）判斷的大小，整數部分為，小

數部分為;

（4） 求取平移后（插值后）的點值：利用方程（5）變形求解即：

（11）

通過循環執行上述步驟，直至，可以得到全新的插值序列S′，該序列的長度為N。插值算法對波形中基波分量的影響非常小，但對諧波分量，特別是高次諧波分量會產生較大的影響，這種影響包括了幅值和相位兩個方面。

2.插值引起的諧波分量幅值誤差分析

建立插值算法的仿真模型并進行大量仿真試驗，得到了不同基頻條件下，各次諧波分量幅值偏離原始值的特性，如圖1所示。從圖上不難看出，隨著諧波次數的增加，諧波的幅值衰減呈變大的趨勢，50次諧波分量幅值的衰減超過10%。

對于諧波分量的幅值衰減，需要進行補償才能保證計量精度。為此做出了以頻率偏移量為變量時的特性曲線，其中橫軸坐標為實際頻率與50Hz之間的偏移量，縱坐標為諧波幅值誤差。

圖1 不同頻率時各次諧波幅值誤差曲線

圖2 諧波幅值衰減誤差的曲線擬合

圖3 不同頻率時各次諧波相角誤差曲線

圖4 不同諧波次數時各次諧波相角誤差曲線

為表示清晰，選取諧波次數較大時的數據來做分析，此時諧波幅值誤差數據也較大。以圖中綠色的63次諧波誤差數據為例，其線性擬合的斜率為-0.006761，在-2.5Hz處的初始誤差為-16.613%，按sin（x）/x曲線進行擬合，得到圖中的黃色曲線，可以看出，其擬合度是非常高的。在實際應用時由于sin（x）運算與除法運算均需耗費單片機大量資源，考慮到算法的實用性，可采用圖中所示的黑色折線進行近似線性擬合，其中中間凹陷部分的寬度與諧波次數無關，均為±0.1Hz，此時只需保存各次諧波在-2.5Hz處的起始值與擬合斜率，即可根據實時頻率，按照理論擬合曲線計算出各次諧波幅值的理論誤差，然后對實測值進行修正即可。

3.線性插值引起的諧波分量相位誤差分析

用同樣的仿真模型分析插值引起的相角誤差如圖3和圖4所示。雖然插值會引起信號諧波相角偏移，但對于計量而言，由于是同時對電壓電流信號進行插值，對電壓信號與電流信號的影響是相同的，因此不會影響到兩者之間的相對相位差，對計量精度沒有影響，因此不需要特殊的補償修正。

4.結論

沖擊負荷電能表采用上述方法對結果進行修正，使諧波精度較同類產品有明顯提高。2～39次諧波幅值誤差均優于國標GB_T_14549-93（電能質量公共電網諧波）中所規定的A類諧波要求，2～50次諧波功率誤差均小于1%，其諧波精度已獲中國計量院的諧波校準報告。

參考文獻

[1]同向前，薛鈞義.考慮諧波污染時用戶電量的計量[J].電力系統自動化，2002，26（22）：53-55.

[2]JavisE.J.，EmanuelA.E.，PileggiD.J..HarmonicPollutionMetering：TheoreticalConsiderations[J].IEEE TRANSACTIONS ON POWER DELIVERY，2000（1）：9-12.

[3]周莉，劉開培.電能計量誤差分析與電能計量計費問題的討論[J].電工技術學報，2005，20（2）：63-68.

[4]DomijanA.，Embriz-SantaIlder E.，GlaniA..Watt-hour Meter Accuray Under ControlledUnbanlencedHamonic Voltage and Current[J].IEEE TR ANSACTIONS ON POWERDELIVERY，1996，11（1）：64-70.

[5]張曉冰.畸變信號條件下電網功率潮流分析與電能計量新方法研究[D].哈爾濱：哈爾濱理工大學博士學位論文，2007.

[6]馮力鴻.諧波對電能表計量誤差影響的分析[D].北京：華北電力大學碩士學位論文，2008.

[7]JohallDriesen.Thieq Van Craenenbroeck and Daniel Van DomJllelen[J].TheRegistrationof Harmonic Power by Analog and Digital Power Meters，IEEE TRANSACTIONS ONINSTRUMENTATION AND MEASUREMENT，VOL-47，NO.1，FEBRUARY1998，47（1）：195-198.

[8]Definitions for the MeaSuremem of Electric Quantities Under Sinusoidal.Nonsinusoidal，Blanced，or Unbalanced Conditions，IEEE Std，1459-2000，Jan.2000.

[9]K.Riedmulle，R.Forsyth and A.Gierlinger，A Mixed-signal ASIC with Embedded DSPCore for Power Metering Application，460-463.