一道對(duì)數(shù)函數(shù)題的錯(cuò)解辨析

羅嵐方

【摘要】本文從一對(duì)數(shù)函數(shù)題入手，分析對(duì)數(shù)函數(shù)解題存在的問題，和學(xué)生辨析對(duì)數(shù)函數(shù)在解題中的知識(shí)點(diǎn)，從而鞏固學(xué)生對(duì)數(shù)函數(shù)的知識(shí)。

【關(guān)鍵詞】對(duì)數(shù)函數(shù) 錯(cuò)解 辨析

【中圖分類號(hào)】O1 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2014）10-0119-01

在對(duì)數(shù)函數(shù)中有這樣一道習(xí)題：已知關(guān)于x的方程lg■=lg■唯一實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍。

一些學(xué)生是這樣解答的：解法1 lg■=lg■？圯4x2+4ax=4x-a-1？圯4x2+4x（a-1）+（a-1）=0 ①；由已知關(guān)于x的方程有唯一實(shí)數(shù)解？圯①式中△=16（a-1）■-16（a-1）=16（a-1）（a-2）=0？圯a=1或a=2.

解法2 ∵①式中有解 ∴△=16（a-1）■-16（a-1）=16（a-1）（a-2）≥0？圯a≥2或a≤1⑨； ∵4x2+4ax>0②，且4x-a-1>0③ ， ∴由②得：當(dāng)a>0時(shí)x>0或x<-a④，當(dāng)a<0時(shí)x>-a或x<0⑤；由③得：x>■⑥（由數(shù)軸表示為：當(dāng)a>0時(shí)④為 ，當(dāng)a<0時(shí)⑤為 ）；又∵由已知關(guān)于x的方程有唯一實(shí)數(shù)解，∴⑥與④或⑥與⑤有公共解，即■≥0⑦或■≥-a⑧，∴由⑦和⑨得a≥2或由⑧和⑨得■≤a≤1.

以上兩種解法錯(cuò)在何處呢？讓學(xué)生們來(lái)討論：

解法1中單純的考慮了二次函數(shù)有唯一解，△=0，忽略了對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)要大于0。解法2中注意到了對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，但對(duì)已知條件“有唯一實(shí)數(shù)解”的理解不正確。

實(shí)際上，原方程的左邊真數(shù)為二次函數(shù)y■=4x2+4ax，右邊的真數(shù)為一次函數(shù)y2=4x-a+1，“方程有唯一實(shí)數(shù)解”要求兩圖像在x軸上方有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，我們可以從兩者圖像特點(diǎn)，結(jié)合對(duì)數(shù)知識(shí)著手分析。

對(duì)于二次函數(shù)y■=4x2+4ax中，△=16a2≥0，但當(dāng)△=0時(shí)a=0，y2=4x，y1、y2在原點(diǎn)處有唯一交點(diǎn)，這樣導(dǎo)致對(duì)數(shù)真數(shù)為0，須舍去，所以y1的圖像為開口向上，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)x1=-a和 x2=0的拋物線；而y2的圖像為與x軸的夾角是銳角、交點(diǎn)為x■=■的直線（如圖1或圖2）。

（圖1） （圖2）

由數(shù)形結(jié)合的思想，正確解答如下：

解答3 令y1=4x2+4ax=0得x1=-a，x2=0

令y2=4x-a+1=0得x■=■由圖1得

-a≤■<0

∴■≤a<1

由圖2得

0≤■<-a

無(wú)解

∴所求a的取值范圍為：■≤a<1.

鐘不敲不響，人不學(xué)不靈；燈不撥不亮，理不辯不明。在教學(xué)輔導(dǎo)中學(xué)生們經(jīng)常會(huì)提出這樣或那樣的問題，對(duì)于這些問題教師應(yīng)該注重啟發(fā)，注意引導(dǎo)，鼓勵(lì)學(xué)生注意觀察、猜想和研究，善于對(duì)比辨析，判斷是非，辨別對(duì)錯(cuò)，探索正確答案，這對(duì)于“填鴨”式的教學(xué)更能讓學(xué)生對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)印象深刻，更鍛煉學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

參考文獻(xiàn)

[1]高峰.《狀元之路》，北京教育出版社，2003出版。

[2]宋文革.《一道適用于探究性學(xué)習(xí)的好題》[J]，《數(shù)學(xué)通訊》，2004年第9期：P15.16。