MCMC方法在跳擴散Shibor模型參數模擬中的應用

鄭曉鴛

【摘要】Shibor利率逐漸成為許多金融衍生產品定價基礎，本文在連續擴散模型基礎上建立了跳擴散shibor利率模型，在前人研究基礎上采用CKLS-SV-Jump模型來刻畫shibor利率的波動情況。介紹并分析了MCMC參數模擬方法，并用MCMC方法和OPENBugs軟件對CKLS-SV-Jump模型進行參數模擬，最終得出模型參數，為以后研究shibor利率衍生產品定價做準備。

【關鍵詞】shibor 跳擴散模型 MCMC

一、引言

Shibor是央行穩步推進利率市場化改革，提高金融機構自主定價能力，指導貨幣市場產品定價，完善貨幣政策傳導機制而培育的中國貨幣市場基準利率體系。自2007年央行推出shibor利率后，在央行進8年的積極培育下，已基本確立了shibor利率在我國貨幣市場的基準利率地位，并逐漸成為傳導貨幣政策、反映市場利率變動的重要指標，并在市場化利率形成機制中發揮重要作用。同時，市場上發展和創新了一大批以Shibor為基準金融產品。大量債券交易、存款、貸款、貼現和理財類產品定價逐步與Shibor掛鉤。目前，金融機構市場成員交易層面已有部分金融產品定價與Shibor相掛鉤：衍生品市場利率互換、遠期利率協議；貨幣市場同業借款、同業存款、貨幣互換、理財產品等；債券市場以Shibor為基準浮動利率金融債券、企業債券、企業短期融資券，以Shibor為基準的票據轉貼現、票據回購等；以Shibor為定價及交易基準的金融產品越來越多，如債券買賣、票據貼現、個人及機構理財產品，最終，銀行存貸款利率定價也與Shibor相掛鉤。

因此，隨著越來越多地的產品與Shibor掛鉤，我們應積極培育我國商業銀行金融衍生產品的自我定價能力，讓Shibor真正在我國金融自由化和利率市場化改革進程中起到貨幣政策利率傳導的主導與核心作用。以Shibor為標的的金融衍生產品定價問題成為越來越多學者的研究對象。要做到這一點，我們首先要研究Sbibor及其本身的利率期限結構，對其進行利率建模，從而能夠有效刻畫出其利率期限結構動態變化的特征，進而對利率的未來變動進行科學的預測，這樣不管是對以Shibor為標的的金融衍生產品定價，還是利率市場化條件下以Shibor作為貨幣市場基準利率風向標的金融風險管理都起著極其重要的作用。

二、shibor利率模型的選擇

由于金融市場興起較早而且比較完善，國外在利率方面的研究已經發展到了相當高的水平。在利率動態模型方面，單因素利率模型主要有Merton（1973）、Vasicek（1997）、CIR（Cox，Ingersoll和Ross）（1985）、和CKLS（Chan，Karolyi，Longstaff和Sanders）（1992）等。其中，CKLS模型為不同的利率期限結構建立了一個共同框架利率模型，單其利率模型只描述了利率漂移項的均值回復特性與利率擴散項的水平效應。Merton（1976）在標準布朗運動中加入跳躍因素來對金融市場中存在的不連續動態變化進行描述。隨后也有國外學者，如Das（2002），Chen&Scott（2002）等人為在模型中加入隨機波動率更貼近現實，包含了更多的利率資產波動率時變特征。

回顧傳統的利率模型，我們知道它們都假設利率服從連續擴散過程。但是大量的實證研究表明，現實情況中利率經常會出現突然的跳躍和巨幅的震蕩，與傳統假設相違背。Das把Vasieck模型擴展到跳躍擴散模型，并通過實證表明跳躍過程能捕捉連續模型無法解釋的利率特征，認為加入隨機波動了更貼近現實。Jarrow等發現跳躍行為能很好地解釋“波動率微笑”之謎。Ahn和Thompson認為利率的樣本軌跡存在非連續性特征，由此提出了利率期限結構的跳躍擴散模型。Johannes提出了一個關于跳躍行為的統計檢驗量，并發現三個月的短期國債利率存在顯著的跳躍行為。因此，我們可以這樣認為：在shibor利率模型中加入跳躍項能夠更好地刻畫和解釋實際中的利率波動情況。

（五）MH隨機游走采樣法

如果M-H算法中的建議函數q（x，x'）滿足1、對稱性q（x，x'）=q（x'，x）；2、q（x，x'）僅與x'-x有關，即q（x，x'）=q（|x'-x|），那么算法就演變為通常意義下的隨機游動采樣法。最常見的一種隨機游動采樣法以正態分布，即q（x'-x）=φ（x'-x）為建議函數。

這里是任意一種多維正態分布的密度函數，也就是說x'～N（x，Σ）。其中，x為當前狀態值，Σ是任意的正定矩陣。在實際計算中，由于要求Σ是正定矩陣，所以常取為Σ=σI，σ是一個參數。這時候，如何選取建議函數的方差σ是影響算法效率的主要因素。對于一維情況，就是要選擇一個合適的σ值，而對于多維情況，我們需要確定給一個合適的正定方差矩陣Σ。一般認為在模擬多維正態隨機數時，如果調整σ的值使得在整個模擬過程中建議被接受的比例為20%左右，則將得到比較好的模擬效果。

隨機游動采樣法是M-H算法中較為常用的一種形式，們已經看到對于隨機游動采樣法而言，如何選擇建議函數的方差成為影響算法效率的主要因素，對于一維情況，就是要選擇一個合適的σ值；而對于d>1的多維情況，我們需要一個合適的正定方差矩陣Σ。在選擇σ的過程中，根據關于采用多維正態作為提議函數的隨機游動采樣法的一些理論結果，一般認為如果目標分布是d維的且各分量之間獨立，則調整接受概率到0.234左右將最大限度地優化隨機游動采樣法的效率，并且接受概率0.234與目標分布的具體形式無關。

基于這樣的想法，我們嘗試構造一種自適應算法來尋找合適的提議函數的方差。大致的思想是讓接受比率落入一個可以接受的范圍內，比如區間[a-ε，a+ε]。以一維的情況為例，先給定一個初值σ0，用這個值產生一條鏈，來估計接受比率P0。若P0在給定的區間[a-ε，a+ε]中，則符合要求，算法停止；反之，則以為中心做一次隨機游動，得到一個σ1，再計算P1是否滿足要求，以此類推，直至找到合適的σ值。具體實現步驟如下：

（三）數據選擇

（四）參數估計結果

本文利用OpenBUGS軟件來實現Gibbs抽樣，從而完成MCMC參數估計。該軟件是國外研究Gibbs采樣和Bayesian推理的研究人員寫的工具包軟件，是在WinBUGS軟件基礎上發展起來的。OpenBUGS軟件能給出參數的Gibbs抽樣動態圖，用平滑方法得到后驗分布的核密度估計圖、抽樣值的自相關圖以及均值和置信區間的變化圖等，使抽樣結果更直觀明了。

五、結論

本文以MCMC方法為基礎，模擬了CKLS-SV-Jump模型。在后續研究中，將以該模型為基礎，來研究以shibor利率為基礎的產品定價問題。但由于時間和篇幅限制，暫未對模型有效性以及其是否能有效模擬市場數據進行檢驗，所以在接下來研究中，也將以此作為研究內容之一。