方法技巧：先設后求以退為進

傅建紅

筆者在運用空間向量解決立體幾何中的平面翻折問題時發現，在建系之后的空間圖形中，底面上各點的坐標相對容易量化，但折起之后，由底面上升到的空間的相應點（本文稱之為“折起點”）的坐標，有時難以直接標注，而該點卻往往是問題的核心之點. 一旦坐標得以量化，則整個問題的難點隨即“土崩瓦解”. 因此，如何有效量化“折起點”的坐標是解決這類問題的關鍵. 筆者探究發現，在“折起點”坐標難以直接標注的情況下，采用“先設后求、以退為進”不失為一種有效的方略，即欲求“折起點”坐標，先設其坐標為（x，y，z），由該點向底面引垂線（退回平面），垂足的坐標即為（x，y，0）（設底面為xOy平面），通過翻折問題的幾何性質解出x，y；然后再返回到“折起點”中（進到空間），根據已知條件或翻折性質，求出豎坐標z，從而求得“折起點”坐標. 由于在底面求解x，y時，須借助翻折問題的幾何性質，為此，筆者下面先介紹相關性質，然后例談如何具體求出“折起點”坐標.

平面翻折問題的實質是平面繞軸的旋轉問題，因此，同一平面在翻折前與翻折后各幾何元素間的位置、大小關系均保持不變，由此可推出如下性質：

性質2 如圖1，將△ABC沿直線AB折起至△ABC1，設折起點C1在△ABC所在平面內的射影為H，則HC⊥AB.

證明：因為C1H⊥底面ABC，所以AB⊥C1H，又由性質1知AB⊥CC1，所以AB⊥平面C1HC，所以AB⊥HC，即HC⊥AB.

性質3 如圖1，將△ABC沿直線AB折起至△ABC1，設P是直線AB上任意一點，則PC1=PC.

證明：因為PC1是PC經平面翻折之后的線段，所以PC1=PC.

性質4 如圖2，四邊形ABCD中，E是AD的中點，∠AEB=∠DEC，將△AEB，△DEC分別沿直線EB，EC折起至△SEB和△SEC，使得A，D重合于S點，設S在底面ABCD上的射影為O，則O在∠BEC的平分線上.