空間幾何體的表面積與體積

崔北祥

隨著新課標(biāo)高考對(duì)立體幾何要求的降低，角和距離的考查在降溫，空間幾何體的表面積與體積問題被推到“前臺(tái)”，越來越成為高考的熱點(diǎn).試題根植課本，追求創(chuàng)新，多以直觀圖，三視圖，平面圖形的折疊、展開與旋轉(zhuǎn)為背景，給出“非常規(guī)”的幾何體，重在考查轉(zhuǎn)化思想和空間想象能力.

重點(diǎn)：了解常見幾何體的體積公式和表面積公式；基本幾何體中點(diǎn)、線、面的關(guān)系，特別是平行和垂直；掌握三視圖和直觀圖的畫法原理；另外要熟悉三個(gè)關(guān)系：一是三棱錐與四棱錐之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系；二是多面體與球體之間的組合關(guān)系；三是三視圖與直觀圖的轉(zhuǎn)化關(guān)系. 努力培養(yǎng)觀察能力，尋求不規(guī)則幾何體與規(guī)則幾何體之間的聯(lián)系，掌握必要的“割補(bǔ)”技巧，熟練空間與平面之間的合理轉(zhuǎn)化，把握準(zhǔn)確切入試題的角度.

難點(diǎn)：其一，怎樣合理地選擇底和高求幾何體的表面積與體積；其二，怎樣恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行“割補(bǔ)”、平面到空間的折疊和空間到平面的展開.

一、求空間幾何體表面積與體積的基本步驟

求空間幾何體的表面積和體積的基本步驟是：先識(shí)圖，根據(jù)題目給出的圖形，想象出幾何體的形狀和有關(guān)線、面的位置關(guān)系，比如由三視圖想象直觀圖；再畫圖，根據(jù)題設(shè)條件畫出適合題意的圖形或畫出自己想作的輔助線（面），作出的圖形要直觀、虛實(shí)分明；接著要變圖，對(duì)圖形進(jìn)行必要的分解、組合，對(duì)圖形或其某部分進(jìn)行平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、展開或?qū)嵭懈钛a(bǔ)，從不同的角度認(rèn)識(shí)圖形，選擇不同的高和底；最后解圖，明確目標(biāo)三角形，解三角形求出圖中的數(shù)量關(guān)系.

二、求空間幾何體表面積與體積的基本技巧

（1）表面積和側(cè)面積：空間幾何體的面積有表面積和側(cè)面積之分，在計(jì)算時(shí)要注意區(qū)分它們. 多面體的表面積是其所有面的面積之和，旋轉(zhuǎn)體的表面積除了球之外，都是其側(cè)面積和底面面積之和.

（2）高：在空間幾何體表面積和體積的計(jì)算中都離不開“高”這個(gè)幾何量（球除外），因此，計(jì)算表面積和體積的關(guān)鍵一環(huán)就是求出這個(gè)量. 在計(jì)算這個(gè)幾何量時(shí)要注意多面體中的“特征圖”和旋轉(zhuǎn)體中的軸截面.

（3）分割：實(shí)際問題中的幾何體往往不是單純的柱、錐、臺(tái)、球，而是由柱、錐、臺(tái)、球或其一部分組成的組合體，解決這類組合體體積的基本方法就是“分解”，將組合體“分解成若干部分，每部分是柱、錐、臺(tái)、球或其中一個(gè)部分，分別計(jì)算其體積”，然后根據(jù)組合體的結(jié)構(gòu)，將整個(gè)體積轉(zhuǎn)化為這些“部分體積”的和或差.

（4）補(bǔ)形：棱錐體常常補(bǔ)形為柱體，臺(tái)體經(jīng)常補(bǔ)形為錐體. 比如，球面四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的線段PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，則4R2=a2+b2+c2，把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接正方體（或其他圖形），從而顯示出球的數(shù)量特征，這種方法是一種常用的好方法.

（5）展開：在求幾何體的面積時(shí)，經(jīng)常要把幾何體展開為平面圖形，注意在何處展開（多面體要選擇一條棱展開，旋轉(zhuǎn)體要沿一條母線展開）.

（6）翻折：在解決問題時(shí)，要綜合考慮折疊前后的圖形（既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形）.翻折的關(guān)鍵是搞清翻折前后的變化量和不變量. 一般情況下，線段的長度是不變量，而位置關(guān)系往往會(huì)發(fā)生變化；翻折后還在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化. 抓住不變量是解決問題的突破口.

（7）切接：與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接. 解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)或接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖. 如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長等于球的直徑. 球與旋轉(zhuǎn)體的組合問題，通常通過作它們的軸截面解題；球與多面體的組合問題，通常通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”“接點(diǎn)”作出截面圖解題.