關于捷徑的迷惑

張遠南

有這樣一個故事：

地理老師提問一個學生：“請指出從上海到廣州距離最短的路.”學生看了看擺在講臺上的地球儀，從容答道：“是一條挖通廣州與上海的直線隧道.”

眾嘩然！

其實，從理論上講，這位學生說得并沒有錯，那是根據平面幾何里的一條公理：兩點之間線段最短. 不過，生活在地球上的人類，習慣于把自身的活動，限制在這個星球的表面予以考慮. 這樣，在上海與廣州之間的最短路線，很自然地被理解為過上海和廣州之間的一段大圓弧. 這段大圓弧約長1 200 km.

球面上過兩點的大圓的弧，可以用以下的辦法直觀地顯示出來：在地球儀上拉緊過兩點的一條細線，這條細線即可看為大圓的弧.

上面的故事是人為杜撰的呢，還是真有其事，現在已經無從得知. 不過，抱有上述想法的，歷史上可不乏其人！

大約在20世紀初，俄國舊都彼得堡出現過一本書名很怪的小冊子，叫做《彼得堡和莫斯科之間的自動地下鐵道》（一本還只寫三章，未完待續的幻想小說）. 作者在書中提出了一個驚人的計劃：在俄國新舊兩個首都之間，挖一條600 km長的隧道，這條筆直的地下通路，把俄國的兩大城市連接起來. 這樣，“人類便第一次有可能在筆直的道路上行走，而不必像過去那樣走彎曲的路”！作者的意思是：過去的道路都是沿著彎曲的地球表面修筑的，因而都是弧形的，而他設計的隧道卻是筆直的！

不過，作者寫書的主要意圖不在于考慮兩點間線段最短，而是這樣的隧道如能挖成，則任何車輛都能像單擺一樣，在兩個城市之間來回移動. 開頭速度很慢，后來由于重力的作用，車速越來越快；接近隧道中點的地方，達到了難以置信的高速，而后逐漸減速，靠慣性行進到另外一頭. 如果摩擦力可以忽略不計的話，在地球上任何兩個地方之間走完全程都只需42分12秒.

很明顯，對于可以展成平面的曲面，曲面上的短路程問題都可以用類似上面展開的方法加以解決. 圖6和圖7的圓錐曲面就是一個例子.

然而，并非所有的曲面都能展開成平面. 我們最常見的球面，其任何一個部分，都不可能毫無重疊或破裂而展成平面. 這就是無論哪一種地圖，總不可避免地要產生變形的原因. 沒有一點畸形的地圖根本不存在！這樣，當你翻開一張地圖細心觀察時，你便會發現一個有趣的現象：圖上畫的航線幾乎都是一條條弧線，這才是真正的球面短程線——大圓弧線. 而圖面上看起來是直的線，實際上只是保持與經線等角的斜航線.

圖8畫出了連接非洲好望角和澳洲南部墨爾本港之間的兩種航線. 看起來似乎更長的大圓航線只有5 450海里，而看起來筆直的斜航線卻有6 020海里. 斜航線竟然比大圓航線長570海里，相當于多了約1 050 km. 由于地圖的畸變，給人造成了錯覺！

我們該怎么測定地球儀上兩個城市之間的最短距離？為什么地圖上兩個城市之間的距離畫線幾乎每條都是弧線？這是由于地球的畸變還是我們的視覺出錯？其實只要你認真研究便會發現，地圖上的每條弧線才是真正的球面短程線……