圓柱貫穿圓錐正交相貫線的一種幾何作法

【摘要】找準、找全特殊點，是快速、準確地作出相貫線的關鍵。本文基于數學理論，運用數學模型，針對圓柱貫穿圓錐正交相貫線上特殊點不能準確畫出的問題，提出了一種準確、簡便、可靠的幾何作法，為手工繪圖、計算機繪圖提供了理論依據。

【關鍵詞】數學模型 圓柱 圓錐 正交 相貫線

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）12-0123-02

一、引言

制圖中求兩個回轉曲面的相貫線，通常是先確定特殊點，再根據需要找出一些中間點，然后用光滑曲線連接起來。本文基于數學理論，運用數學模型，針對圓柱貫穿圓錐正交相貫線上最右（左）點不能準確畫出的問題，提出了一種準確、簡便、可靠的幾何作法，也為手工繪圖、計算機繪圖提供了理論依據。

二、建立圓柱貫穿圓錐正交相貫線上的數學模型

圓柱貫穿圓錐且軸線垂直正交，設圓柱的半徑為r，圓錐的半頂角為 ，圓柱與圓錐軸線的交點為坐標原點O，圓錐頂點S到O點的距離為h，如圖1建立空間直角坐標系Oxyz，于是有

圓柱面方程：y2+z2= r2 （1）

圓錐面方程：x2+y2=（z-h）2tan2 （2）

將上述兩方程聯立，消去y，得相貫線方程：x2+r2-z2=（z-h）2tan2 （3）

（一）解析法確定圓柱貫穿圓錐正交相貫線的形狀

將相貫線方程（3）化簡，整理得：

-（z-hsin2 ）2 =h2sin2 cos2 -r2cos2 （4）

由于是圓柱貫穿圓錐，所以r0，所以方程（4）表示的是左、右兩支雙曲線，在xoz平面上，z軸是虛軸，z=h sin2 是實軸，頂點在實軸上。

即當圓柱貫穿圓錐正交時，二者相貫線在xoz平面上的投影為左右對稱的雙曲線。由（4）不難求得左支雙曲線的頂點B坐標為（ ，0，hsin2 ）。

（二）導數法證明圓柱貫穿圓錐正交相貫線上最右點即為上述左支雙曲線的頂點

將相貫線方程（3）化簡，得x2=z2sec2 -2zh tan2 +h2tan2 -r2 （5）

對（5）式兩邊求關于z的導數，得2x =2z sec2 -2h tan2 令 =0，得駐點z = h sin2？夼.在只考慮左支雙曲線時，有x > 0。此時，當z < h sin2 時， < 0；當z > h sin2？夼 時， > 0。根據函數的單調性，可知關于z的函數x在z =h sin2 時取得極值，且極值點為（ ，0，hsin2 ），正是上述左支雙曲線的右頂點。

所以，當圓柱貫穿圓錐正交時，上述左支雙曲線的右頂點就是二者相貫線在xoz平面上投影的最右點。

（三）基于數學模型的啟示

通過分析數學模型（3）可知，圓柱貫穿圓錐正交時，①相貫線的形狀為左右對稱的雙曲線；②相貫線上的最右（左）點在水平面z=h sin2 上；③可以作輔助平面z=h sin2 確定相貫線的最右（左）點。

三、圓柱貫穿圓錐相貫線的幾何畫法

（一）相貫線上的最高（低）、最前（后）點的幾何求法

如圖2所示，相貫線上的最高點是a'點，最低點是b'點（針對左側相貫而言，b'點又是最左點），它們分別是圓錐的最左素線與圓柱的最上、最下素線的交點；相貫線上的最前、最后點分別位于圓柱的最前、最后素線上，就是e、f兩點，這些特殊點采取幾何法可以準確求出。

（二）相貫線上前、后對稱的最右（左）點的幾何求法

為方便起見，這里只說明圓柱左側貫穿圓錐時，相貫線上最右點的幾何求法（右側貫穿最左點類似），見圖2，具體步驟如下。

（1）找出圓柱、圓錐兩軸線的交點O。

（2）求作輔助平面z=h sin2 ，由2.3知，相貫線上的最右（左）點在水平面 z=h sin2 上，又z=h sin2 =h sin ·sin ，從交點O向圓錐的最右素線SU引垂線，得垂足n'，則On'= h sin ；過n'作平行于圓錐底面的水平面交圓錐軸線于k'點，由平面幾何知識知道，Ok'=On'·sin =h sin ·sin =h sin2 ，所以過n'所作的平行于圓錐底面的水平面就是相貫線上的最右（左）點所在的平面z=h sin2 。

（3）找出相貫線上的最右點。根據空間平面的三視圖特征及其投影特性，過n'的輔助平面z=h sin2 的正面、側面投影都積聚成直線，與圓柱、圓錐表面的共有點是前、后對稱的兩點，它就是相貫線上的關鍵特殊點——最右兩點c、d點，其正面投影為c'（d'）。

（三）圓柱貫穿圓錐正交相貫線的幾何畫法

通過（一）和（二），求出了相貫線上的特殊點：最高、最低點；最前、最后點；最左、最右點，這就確定了相貫線的空間范圍；根據2.1和2.2知道，圓柱左側貫穿圓錐時，相貫線是左支雙曲線，雙曲線的頂點就是相貫線最右點，為了手工描點作圖的精確度更高，還可以找一些中間點，比如像圖2中p'（q'）這樣的中間點。

有了這些特殊點和中間點，依次用光滑的曲線連接起來，就能較準確性的作出相貫線，如圖3所示。

四、圓柱正交圓錐相貫線形狀變化綜述

圓柱半徑為r，圓柱圓錐兩軸的交點到圓錐最左（右）素線的距離為h sin 。

（一）r

圓柱貫穿圓錐情況如圖4所示。根據相貫線的數學模型（4）可知，此時相貫線在V面上的投影取左、右兩支雙曲線上對稱的一段，如圖7中的ab段，頂點s（± 0，hsin2 ）為相貫線的最右（左）點，隨著圓柱半徑r的變化而在雙曲線的實軸z =h sin2 上移動。

（二）r=h sin ，圓柱圓錐公切于球

柱錐公切于球，球半徑R=r=hsin 。根據相貫線的數學模型（4）可知，相貫線方程的右端h2sin2 cos2 -r2cos2 =0，此時情況如圖5所示，即相貫線為兩條相交直線z=±xcos +hsin2 上的一段，其交點即為（0，0，hsin2 ）點。所以當圓柱圓錐公切于球時，相貫線在V面上的投影取圖7中兩條漸近線上對稱的一段。

（三）r>h sin ，圓錐貫穿圓柱

根據相貫線的數學模型（4）可知，此時相貫線方程的右端h2sin2 cos2 -r2cos2 <0，此時情況如圖6所示，即方程（4）表示的是上、下兩支雙曲線。在xoz平面上，z =h sin2 是虛軸，z軸是實軸，頂點在z軸上。由方程（4）不難求得上、下兩支雙曲線的頂點坐標為（0，0，hsin2 cos），頂點隨著圓柱半徑r的變化而在雙曲線的實軸即z 軸上移動。所以當圓錐貫穿圓柱時，相貫線在V面上的投影取圖7中上、下對稱兩支雙曲線上的一段。

總之，在《機械制圖》的教學過程中，將數學知識、數學思維、數學思想恰當的運用其中，既能增強《機械制圖》教學的實效性，又能讓學生體會到數學與其他學科間的聯系，提升學生學習數學的積極性和興趣度，促進學生形成和發展數學應用意識，提高實踐應用能力。

參考文獻：

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[2]張玉蘭，智艾娣.圓柱貫穿圓錐的相貫線及其數學模型[J].洛陽師范學院學報，2006，5：46-48.

[3]王仁毅.兩軸線垂直相交的圓柱面與圓錐面相貫線上特殊點的探討[J].廈門教育學院學報，2000，1：38-40.

作者簡介：

余敏（1965-），女，安徽省壽縣人，教授，工學學士，研究方向：士官教育工作和士官基礎課教學研究。