數學解題錯誤分類例析

劉淵樞

【摘要】數學解題錯誤是學生在數學學習過程中的普遍性行為。本文旨在通過對錯誤進行合理分類，從心理上、知識上、邏輯上和策略上等進行系列分析，精確歸因，從而有的放矢，既為教師提供可靠的教學反饋，以便適時調整教學方案；又可提升學生自我糾錯能力，并獲得有益的心理發展。

【關鍵詞】解題錯誤 認知結構 邏輯性錯誤 充要條件

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）02-0154-02

邏輯性錯誤是指學生在解題過程中由于違反邏輯思維的形式和規律而產生的錯誤，雖然邏輯性錯誤在本質上也可歸類為知識性錯誤，但導致解題出錯的知識盲點不是具體的數學知識而在于邏輯，是因為學生在解題過程中違反了邏輯思維的形式和規律而產生錯誤。筆者把在教學實踐過程中出現的常見邏輯性錯誤進行細分，并以具體案例說明如下。

一、分類討論不當

分類是揭示概念外延的邏輯方法，解答數學習題時經常需要進行分類討論，其依據是形式邏輯中關于概念劃分的規則：（1）分類應該是相應對稱，即劃分所得的子項外延總和應該等于母項的外延（也可以簡稱為不重不漏）；（2）應該按照同一標準來進行；（3）子項要互相排斥，即子項的外延之間是不相容的并列關系，不能交叉或從屬；（4）若需多級劃分，應按層次逐級進行。

類似的分類討論不全有：首項系數有字母時字母為0的討論；二次函數定（動）區間關于對稱軸位置的討論；直線方程斜截式關于斜率不存在情況的討論……都是學生在學習過程中經常出現的分類討論不全問題。對于教師來說，在教學過程中就要重點強調，并讓學生把此類易錯問題做為材料積累起來，以起到“免疫”的效果。

二、虛假論證

這是典型地違反邏輯思維的充足理由律，以虛假的命題（或未經證明的真命題）作為推論的依據。

例2. 如圖，空間四邊形ABCD被一平面所截，截面EFGH 是平行四邊形。⑴求證：CD∥平面EFGH；⑵如果AB、CD成角為 （變量）， AB=a， CD=b（a、b是定值），求截面EFGH面積的最大值。

錯解：（1）四邊形EFGH是平行四邊形，則EF∥GH，又平面EFCD∩EFGH=EF，EFGH∩CDGH=GH，EFCD∩CDGH=CD，故EF∥GH∥CD，則CD∥平面EFGH。（誤把教材中的課后題“三個平面兩兩相交，則三條交線平行或交于一點。”當作定理來用。）

四、循環論證

每個命題都是由論題、論據和論證構成。論題真實性有待證明的命題；論據是證明論題真實性所依據的真命題。它必須滿足兩個條件：（1）論據必須真實；（2）論據的真實性不能依賴論題的真實性。而論證是論題和論據之間的聯系方式或推理形式。在推理或證明的過程中，如果違反論據規則的第（2）個條件，即論據的真實性依賴于要證的命題的真實性，這種邏輯上的錯誤就稱為循環論證。

參考文獻：

[1]戴再平.《數學習題理論》.上海：上海教育出版社，1996第二版

[2]張奠宙，過伯祥.《數學方法論稿》.上海：上海教育出版社，1996

[3]波利亞（美）.《怎樣解題》.上海：上海科技教育出版社 2011