無幾何不數學

劉軍

【摘要】立體幾何是高中數學的重要內容之一，但近年來，該部分的高考得分一直不高，結合教學實踐，本文提出了高中數學立體幾何的有關教學策略。

【關鍵詞】高中數學立體幾何策略

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）07-0151-02 立體幾何是高中數學的重要內容之一，也是高中生數學學習的難點之一。我發現，很多學生由于空間想象能力差等原因，看不懂立體幾何的圖形，或不能靈活的運用數學語言進行相關的推理證明，從而導致在歷年的高考數學試卷中，立體幾何部分的得分率較低。如何調整立體幾何的教學策略，幫助學生在立體幾何的學習中取得好成績，是目前亟待解決的問題。

一、克服恐懼，培養學生學習立體幾何的興趣、毅力和信心

立體幾何對培養學生的邏輯思維和空間觀念有重要的基礎作用，但在日常教學中發現，很多學生對立體幾何的學習缺乏信心，久而久之，對學習喪失興趣。因此，在立體幾何教學中，我們首先要做的不是傳授知識，而是要激發學生對學習的內在動機，即讓學生明白立體幾何學習的意義，從而愛上學習，心理學研究表明，內部動機比外部動機引發的學習更加持久，更具備克服困難的毅力。為此，我經常給他們講一些關于學習的小故事，例如，少年牛頓因不喜歡幾何學而無緣劍橋大學獎學金，在導師的點撥下刻苦學習幾何，為以后的科研打下堅實的數學基礎的故事等等，既能激發學生的興趣，又可以增強他們的信心。

二、立體幾何教學中要注重培養學生的數學語言能力

很多學生表示學了一段時間的立體幾何依然看不懂用圖形表示的點、線、面關系及幾何特征，看不懂用文字、符號表達的題目內容，不能根據題意描述正確作圖，這往往與學生掌握不好數學語言有關。

數學語言分為文字語言、符號語言和圖形語言，三種語言特點不同，數學語言具體精確、符號語言抽象簡單，圖形語言直觀形象，三者在本質上是一致的，且可以互譯。

例如，學習“平面與平面平行的判定中的定理”時，我就注意指導學生用三種語言來表達它。

文字語言：一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行；

符號語言：a?奐β，b?奐β，a∩b=p，a‖α，b‖α?圯β‖α;

圖形語言：

圖1

教學中，要注意引導學生注意三種數學語言對在表述同一定理時的本質聯系，發現規律，這樣有助于學生對定理、概念等的理解與記憶。同時，訓練學生進行數學語言的互譯還有助于提高學生對數學的理解能力，發展數學思維，提高數學素養。

三、立體幾何教學中多媒體的應用策略

傳統“黑板+粉筆”的教學方式限制了學生的想象，而現代多媒體技術可以提供直觀、多彩、生動的立體圖形，強烈的立體效果和視覺反差，能有效引起學生的注意，提高學生的認知水平。

例如，在講圓錐的結構特征時，我利用幾何畫板制作一個三角板給學生演示，以三角板的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉形成的面所圍成的旋轉體，讓學生充分體會圓錐的形成過程，在創設教學情境的同時，也激發了學生的想象力，一舉雙得。

同時，多媒體技術也為一些抽象問題的解決提供了一條“捷徑”。例如，二面角和平面角一直是學生辨析上的難點，利用多媒體技術很容易就解決了這個難題。

四、立體幾何教學中向量法的應用策略

向量法是溝通代數與幾何的工具，它通過建系、設點、設法向量，將立體幾何問題轉化為代數問題，使問題簡單化。向量法幾乎可以解決所有的立體幾何計算和一些證明問題，尤其在求點面距離、空間的角（斜線與平面所成的角和二面角）時，向量法有其獨有的優勢。

1.求角的問題

利用向量分別求角，在教學中我們可以按照求線線角，求線面角，求二面角三個層次，由淺入深的一點點指導學生。其中二面角的求解一直是學生頭疼的問題，不妨在練習中指導學生梳理出其中的解題規律：設■■，■■分別為平面α，β的法向量，二面角α-1-β的大小為θ，向量 ■■，■■的夾角為φ，則有θ+φ=π（圖2）或θ=φ （圖3）

圖2 圖3

而后，指導學生總結出結論：構成二面角的兩個平面的法向量的夾角或夾角的補角等于這個二面角的平面角。

2.距離問題

向量法可用于求點到點、點到線、點到面、線到線、線到面、面到面的距離。下面以點到面的距離為例。

求點P到平面的距離時（圖4），要先確定平面的法向量■，再求點P與平面中任意點Q構成的向量■，則點P到平面的距離d=■·cos＜■·■＞=■。

五、立體幾何教學中滲透數學思想的策略

解決立體幾何問題的過程中，包涵有多種數學思想，教師在教學中要有意識的將這些數學思想滲透給學生，對提升學生的數學素養有積極的意義。

1.化歸思想

化歸思想是一種重要的數學思想，應該貫穿于立體幾何教學的始終。通過轉化，一些抽象的空間問題可以轉化為直觀的平面問題來解決，如在二面角平面角的計算中，通常可以化歸為平面問題（在三角形中）計算。見下題：

例1 （2012年 重慶(文) 20題）如圖5，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D為AB中點。

Ⅰ.求異面直線CC1和AB的距離

Ⅱ.求AB1⊥A1C，求二面角A1—CD—B1的平面角的余弦值。

分析：該題的兩問均可用到化歸思想。（Ⅰ）求異面直線間的距離可化歸為求平面內一直角三角形的一條邊；（Ⅱ）求二面角平面角的余弦值可化歸為求一平面三角形角的余弦值，而在三角形中已知三邊長，只需用余弦定理即可。

2.分類討論思想

由于立體幾何的點、線、面間的位置多樣，且圖形位置不確定，當我們對圖形位置進行討論時，經常要用到分類討論的思想。

例如：不共面的4個定點到平面α距離相等，問這樣的平面有多少？

分析：平面α位置不確定，因此就需要討論平面α的位置。為避免，討論中出現重復或遺漏，有必要進行分類討論。本題可將4個定點視作四面體四個頂點，可針對四個點在平面α兩側的個數進行討論。

（情況1）4個頂點在平面α兩側，一側1個，一側3個，滿足條件的平面α有4個；

（情況2）4個頂點在平面α兩側，每側均有2個，滿足條件的平面α有3個。

“無幾何不數學”，立體幾何作為高中數學的重要內容之一，教師在教學中要注意因材施教，幫助學生克服學習恐懼，采用合理的教學策略和教學模式，引導學生的自主學習，提高學生的數學素養。

參考文獻：

[1] 孫利文.高中數學立體幾何教學研究[D].東北師范大學，2012.

[2] 姚宗貴 立體幾何教學中滲透數學思想方法的研究與實踐[D].河南大學，2013.