談談初中數學的反例教學

鄒建平

要說明一個命題的正確，必須經過嚴密的邏輯推理論證，而要否定一個命題，則只需舉出一個符合題設而與結論相矛盾的例子就行了.這種與結論相矛盾的例子叫做反例.在數學教學中，反例和證明同樣重要.因為反例在辨析錯誤中具有直觀、說服力強等突出特點，所以教學中注重反例的運用不但可以使學生發現錯誤和漏洞，而且可以修補相關知識，學會多角度考慮問題，從而提高思維的靈活性.其次，教師在教學時，不但要適當使用反例，更重要的是要善于引導學生構建反例，這實際上是為學生創設了一種探索情景.又由于在通常情況下，許多反例的構建不是唯一的，這就需要學生對所學知識有深刻、透徹的理解，并調用他們的數學功底，充分展開想象，因此，構建反例的過程也是學生發散思維的充分發揮和訓練過程.教學實踐證明：恰當運用反例進行教學，有助于培養學生思維的縝密性、靈活性、發散性和創新性，深刻理解和掌握所學的基礎知識，訓練正確的解題能力等作用，其在數學教學中的重要性已越來越被人們重視和認可.

一、恰當運用反例，幫助學生理解和掌握數學概念

恰當運用反例，可以進一步使學生對所學概念的反思，引起矛盾沖突，促使學生積極思維，在矛盾沖突中使學生對所學概念的認識得以完善，從而達到深刻理解和掌握概念.

二、恰當出示反例，幫助學生掌握數學中的定理或性質

學生在學習一個新的定理或性質時，往往會忽略定理或性質中的關鍵詞語，從而造成解題錯誤.為了克服這一現象，恰當引入反例，可以幫助學生記憶這些關鍵詞語，從而達到掌握定理和性質，并能理解性地加以應用.

例如，在教學三角形全等的識別方法：“有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等”時，學生習慣性地忽略夾角中的“夾”字，而誤記為“有兩邊和一個角對應相等的兩個三角形全等”.于是教師可以出示如下反例：

如圖，BC=BC′，并且AB=AB，∠A=∠A，但△ABC和△ABC′顯然是不全等的.這樣的反例可以使學生理解此定理中夾角中的“夾”的深刻含義，達到準確掌握和運用定理的目的.

三、恰當引入反例，幫助學生牢固、準確掌握公式

四、恰當分析反例，幫助學生發現問題，糾正錯誤

在教學實踐中，我發現恰當運用反例教學，能有效幫助學生發現問題，糾正錯誤.一方面，我讓每個學生準備一個專門用于訂正練習中錯誤的筆記本，叫學生自己分析錯誤原因，寫出正確答案.另一方面，將學生中帶有共性的容易出錯的問題放在一起討論，使他們發現問題，分析錯誤原因，找出正確的解題方法.每一次的錯誤分析其實都是一次成功的反例研究，對學生的進步具有很大的推動作用.

例如，在教學分式方程的解法時，學生在去分母時經常會漏乘.教學中可以準備如下的例題：

五、恰當構建反例，培養學生思維的創造性

反例的運用、構建是猜想、試驗、推理等多重并舉的一項綜合性、創造性活動，是培養學生創新精神、誘發學生創造力的一種很好的載體.反例往往是伴隨著數學教學中命題的推廣，正面證明失效后產生的，所以反例構建不能就事論事，而要把問題的產生過程，如何構建出反例的思維過程充分展現給學生，使反例構建與整個推理過程有機結合，從而培養學生思維的創造性.

例如請學生判斷“一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形”是真命題嗎？

教師在教學時可以利用嚴格的尺規作圖進行如下的反例構建：

建立△ABC，使得AB=AC，在△ADC外（∠DAC<∠ABC）作△EAC，使AE=BD，CE=AD.從而有△AEC≌△BDA.則得∠D=∠E，AD=CE.但四邊形ADCE不是平行四邊形.

總之，在數學教學中，適時地引入一些反例或適當地引導學生構建反例，往往能使學生在認識上產生質的飛躍，幫助他們理解數學概念、鞏固和掌握定理、公式和法則，糾正一些習慣性的錯誤，全面正確地培養思維的創新性.