淺談微積分中數列極限的概念

董秀明

摘 要： 極限是微積分中最基本也是最重要的一個概念.微積分可以看成是圍繞極限而展開的，例如研究函數的連續性、可導性、可積性，無窮級數的斂散性等.因此，作為微積分中的第一個重要概念，對它的透徹理解是相當重要的.

關鍵詞： 微積分 數列 極限

1.極限在微積分中的重要性

極限的思想是微積分中最重要的思想.微積分的內容可以分為：極限理論，連續，微分，積分，無窮級數，以及有關的應用.其中，極限理論統領整個微積分，是微積分的理論基礎.連續、微分、積分在本質上是不同形式的極限，無窮級數的斂散性是由極限的存在與否進行定義的.例如函數在某點處的導數就是函數在該點函數值的增量與自變量增量的比值的極限；而定積分則是某種形式的和式的極限，其中的分割、近似代替、求和與去極限的思想能解決許多實際問題，這些實際問題在微積分出現之前是不可能得到完全解決的.因此，深刻理解極限的定義是至關重要的.然而，對于剛剛接觸極限的大一同學來說，極限不同形式下的概念是很深奧的，理解起來有很大難度.下面就簡單地談談極限理論中常見的數列極限的定義.

2.數列極限的直觀引入

3.關于定義的注釋和常見的理解錯誤

另外，ε任意小的正數，且以小為貴，我們可以限定ε范圍為ε∈（0，1），此時可以取N=[lnε/ln|q|+1]；但是不能取ε∈[1/|q|，+∞）這樣的區間，因為ε≥1/|q取值不可能是很小的正數了.找到N以后，按照定義寫出結論即可.

（3）正整數N是不唯一的，重要的是其存在性，如N取1000，則比1000大的任何正整數都可以作為N.N與ε有關，可以記為N（ε），說明N對ε的依賴關系，但是不能認為N是ε的函數.

（4）一般來說，可以要求ε越小，N越大，但N也可以不隨ε減小而增大.

參考文獻：

[1]蔡光興，李德宜.微積分（經管類）（第二版）[M].科學出版社，2011.

[2]同濟大學應用數學系.高等數學（第六版）[M].高等教育出版社，2007.