例說預設中探究,互動中生成

張天羽 彭俊昌

【摘要】這是一個方程有實根的充要條件的討論，從探索、簡化、質疑、求異四個不同的側面展示了師生活動的全過程，通過活動糾正了學生的各種錯誤觀念，消除了不必要的懷疑。從中析出了各種不同的解法。

【關鍵詞】探索簡化質疑求異等價轉換

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）3-0166-02

這是來自課堂教學中一道預設案例，目的是研究一個方程有實根的充要條件，實施過程雖有曲折，但經師生的共同努力，終于順利實現了"等價轉換"，完成了預定的教學設想。現將師生互動、合作探索的全過程實錄如下，供同行們參考。

案例：若關于x的方程4x+2x·a+a+1=0有實根，試求a的范圍.

一、探索

探索有益的念頭，嘗試求解；雖然探索路上坎坷不平，充滿荊棘，但在師生合作努力下，一步步向目標逼近。

(師)我們解題的切入點選在換元，通過換元，向一元二次方程轉化，然后利用方程有根的充要條件確定參數的取值范圍，那位同學上來一試？

[生1]：令2x=u則

u2+au+a+1=0 (1)

∵ 方程有實根.

∴ △≥0

即a2-4(a+1) ≥0

解得：a≤2-2或a≥2+2。

[師]：思路不錯，知道用換元法進行轉化，運用一元二次方程的根判別式求解，值得肯定。但了2x=u>0，因此解答的結果是錯誤，這里△≥0只是原方程有實根的必要條件，大家思考一下，方程（1）滿足什么條件才滿足原方程有實根？

[生2]：根據上述討論，我們可以知道，原方設方程（1）的兩根為u1，u2， 則

=>-1

[師]：[生2]的解答中："原方程有實根，歸結到方程（1）有正根"這句話是正確的嗎？

[生3]：這句話是正確的，但解答條件加強了，加強到兩個都是正根的條件。

[師]：對！我們大家驗算一下，a=-2,a=-4,a=-5，原方程的根的情況。

師生共探：

10：a=-2,方程可變為：22x-2·2x-1=0

=> (2x-1)2=2=>2x=1±

舍負得： 2x=1+

=>x=log2 (+1)

20: a=-4，得22x-4·2x-3=0

=>(2x-2)2=7

=>2x=2±

舍負得：2x=2+ =>x=log2(2+)

更多的事實：

a=-3原方程：x=log2

a=-6，…… x=log2(3+)

a=-10 方程的實根為：x=log2(5+)

a=-13方程的實根為：x=log2

如果想舉，還可以舉出更多。

[師]：這些事實說明了什么問題呢？

[生4]：方程（1）有正根，包括兩個方面：

10：方程有兩個正根；20：方程（1）有一個正根與一個負根。

方程（1）有一個正根和一個負根，則△≥0

f（0）=a+1<0

=>a<-1 (2)

由[生1]的解法和（2）得：a∈(-∞,-1)∪(-1,2-2］

這樣解答就完整了嗎？這時大家的思維非常活躍，見老師這樣問話，不禁一楞，老師繼續道；我們不妨驗證一下a=-1的情形：

a=-1時，方程（1）有u=1與u=0兩根民符合題意。因此，正確解答如下：

令u=2x>0 . 原方程變為

u2+au+a+1=0 (1)

∵原方程有實根， -

∴方程（1）有正根.

由方程（1）有正根的條件可得：

或

或a=-1

=> -1

所以，原方程有解，實數a的取值范圍為：(-∞，2-2],

[師]：我們在糾誤中逐歩理解題意，在轉化中逐步形成正確思路，在師生合作討論中實現等價轉換，在互動與情景交融中展現探索思維的全過程。從而使正確答案順理成章，呼之欲出，水到渠成。

二、簡化

[師]問題的解決，決不是思維的結束，而是另一思維起點的開始。:反思解題的全過程，那些是可以省略的，那些是可以合并的，就象鄭板橋說的：“沉繁削盡留清翠，畫到生時是熟時”，使解題過程更加精煉，更加趨于合理。

那么本題的解題過程中那些可以省略，那些可以合并呢？

注意到“a>-1”,“a<-1”及“a=-1”是“a∈R”的情形，所以原解題過程要以簡化為：

令u=2x>0.

則原方程可變為：u2+au+a+1=0(1)

∵原方程有實根，

∴方程（1）有正根.

∴

=> a≤2-2

所以原方程有實根解時，a的取值范圍是：(-∞，2-2],

合并后解答簡單明了，一目了然。大家看還有什么疑問？

三、質疑

「生5」：x2+2x-3=0的兩根是一正一負，且負根的絕對值大于正根，即對稱軸在x軸上，而本題會不會對稱軸在x軸的負半軸，仍然有一個根大于零呢？

[師]：我們讓邏輯推理說話，若存在，則u1<0,u2>0,且u1>u2，

這時應有：

=>a∈φ

以上推理說明，這種情況不存在，也就是說，不必擔心，u1<0,u2>0,且u1>u2的情形出現。

[生6]：我這樣想，既然原方程有實根可轉化為方程（1）有正根，問題可轉化為：

解得：a≤2-2

點評：這是簡化解答的等價形式。進一步指出了方程(1) 的大根必須大于零。

四、求異

你能用不同的方法解決這個問題嗎？換一個角度看問題也許別有一番天地。

[解] 由（1）可得：a==-[(u+1)+-2]

≤2-2

當且僅當u+1==>即當，u=-1時"="號成立。

[點評]：換元后進行參變量分離，把a表示成u的函數，然后用重要不等式求最值，從而確定a的范圍，思路自然，言簡意駭，屬于整體思想及變量分離思想的運用。

這節課教師在課堂中抬終占有主導地位，適時引導，釋疑、點評，使學生的思路始終沿著正確的軌道發展。問題理念是勾通師生聯系的渠道，師生互動有聲有色，解題思路在探索與合作交流中逐步形成，回顧反思中使解題過程得以優化；質疑中，消除了學生不必要的疑慮，完善了學生的認知結構；求異中，展現了"柳暗花明又一村"的情景。一個方程有根的充要條件在預設中師生共同探究體驗，在師生互動中生成。