反例教學與學生思維品質的培養

楊梅玲

摘 要：美國數學家B·R蓋爾鮑姆說:“冒著過于簡單化的風險,我們可以撇開定義、陳述以及艱苦的工作不談,數學由兩大類證明與反例組成,而數學發現也朝著兩個目標——提出證明和構造反例。”可見反例在整個數學教學和研究中的作用。

關鍵詞：數學； 反例教學

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A文章編號：1006-3315（2013）03-020-002

在數學史上, 恰當的反例也是推動數學發展的動力。常常有這樣的情形,一個重要的猜想數學家很長時間沒能證明它，結果有人舉出一個反例否定了這個猜想,使問題得到了解決。

1644年,法國修道士馬林·默森宣稱MP=2P-1型的數,當P=2﹑3﹑5﹑7﹑13﹑17﹑31﹑67﹑127﹑257時都是素數(稱為默森素數).其實它只驗算了前面的七個。1903年美國數學家科爾作了一次無聲的學術報告.他在黑板上先算出267-1,接著又把193707721×761838257287用豎式算了一次,兩個結果完全相同,他沒有說一句話,就回到了自己的座位上,會場上響起了暴風雨般的掌聲,因為一個反例糾正了人們兩百多年的誤解。

在數學教學中,恰時恰當的運用反例,不僅可以加深學生對數學概念﹑性質﹑法則和定理的理解,而且可以培養學生的思維品質。本文試從以下幾個方面略陳淺見。

一﹑利用反例培養學生思維的深刻性

在教學中,我們應重視對學生基礎知識﹑基本技能的培養。基礎知識教學主要是指概念教學和公式﹑定理教學等。其中概念是數學最基本的東西,它所描述的是事物的本質屬性,是數學的基石。本質不清,不注重基石的作用,就很難真正意義上的理解數學,更不要想用好它或作進一步研究。因此概念教學極為重要，對概念教學僅從感性認識上理解是遠遠不夠的，必須要揭示出它的內涵和外延。而對于一些相近易混的概念,通過構造反例,往往能夠從反面消除一些容易出現的模糊認識,以便能夠更好的理解概念。而對于公式﹑定理教學也是如此,學生往往會對一些關鍵詞語認識不足，對所要求的條件理解不全,這時反例也能起到正面強調所起不到的強化作用。

例1:棱柱的定義

北師版必修3第一章《簡單幾何體》一節中,棱柱是這樣定義的:有兩個面相互平行,其余各個面都是四邊形, 并且相鄰兩個四邊形的公共邊都相互平行, 由這些面圍成的幾何體叫棱柱。

有的同學認為這樣的敘述啰嗦,建議改為:有兩個面相互平行,其余各個面都是平行四邊形”的幾何體。

要糾正這種認知,給出反例如圖1就夠了。

學生通過這個圖形可以深化對棱柱本質特征的

認識。

例2:函數的定義

在北師版必修1《函數》一章中講到了函數的概念,多數學生在剛接觸函數概念的時候,認為此概念較抽象,理解較困難,在此利用如下反例便可以加深學生對函數的理解。

下列圖形是函數圖象嗎?(y關于x的函數?)

圖2

例3:判斷

等比數列{an}共有3n項,其前n項和為Sn,則Sn,S2n－Sn,S3n－S2n也是等比數列”。

對于該命題多數學生認為是正確的。此時我們可以給出如下反例：設數列{an}為1﹑-1﹑1﹑-1﹑1﹑-1﹑1﹑-1﹑1…取n=2,則S2=0,S4-S2=0,S6-S4=0，顯然不是等比數列。

借此我們要強調：“公式、性質本身都很重要，但我們更要注意到它的適用范圍”。

二、利用反例培養學生的嚴謹性

數學是一門嚴謹的科學，解決數學問題的思維過程也應是縝密的。教學中我們可以精選反例，加之我們精彩的講授與學生的積極參與，就能提高學生的認識，激勵學生上進的欲望。當然我們也需要引導學生從反例的線索引申開去，創造性的認識反例所反映的一般情形，獨立發表自己的見解。

例4:多個單調區間中是用“和”還是用“∪”連接

教學中我們發現對于一個函數的多個單調區間求出后，總結時到底用“和”還是用“∪”連接，是學生最易犯的錯誤之一。要糾正這種問題，請看下面的反例：

我們知道函數f(x)=■在(-∞,0)和(0,+∞)上分別是減函數，但不能說在定義域（-∞，0）∪（0，+∞）上是減函數。假如說函數f(x)=■在定義域（-∞，0）∪（0，+∞）上為減函數，依據函數單調性的定義知，在定義域（-∞，0）∪（0，+∞）任意取x1，x2，且x1＜x2,當x1∈(-∞,0)，x2∈(0,+∞)時，應有f(x1)＞f(x2)，而事實上f(x1)＜f(x2)如圖3：

由此我們可以抓住時機，剖析其原因，并加以總結，可有效地提高學生的思想認識，預防同類錯誤再發生，對培養學生良好的學習習慣和思維的嚴謹性都有著重要的意義。

三、利用反例培養學生的敏捷性

我們知道凡從正面肯定不易而從反面否定較易的時候，均可通過構造反例來解決。

例5：已知集合A=x f(x)=0,B=x g(x)=0,C=x f(x)g(x)=0則必有（ ）

A、C=AYNB、C=AIBC、C?哿AYB D、C?哿AIB

本題大部分同學都選擇了A，此時只需舉一反例便可否定它。如：A={xx+1=0=-1，B=x■=0=1，AYB=-1,1則C=x(x+1)■=0=1，此時C≠AYB。

例6：（08年全國Ⅱ,理工農醫類22題）

設函數f(x)=■

（1）求f(x)的單調區間

（2）如果對于任何x≥0都有f(x)≤ax，求a的取值范圍。

本題第二問我們可以這樣分析：

令g(x)=ax-f(x)則g'(x)=a-■=a-■+■

=3(■-■)2+a-■

故當a≥■時，g'(x)≥0，又g(0)=0，所以當a≥0時，g(x)≥g(0)，即f(x)≤ax

但當0＜a＜■及a≤0時，不易正面證明，此時便可通過構造如下反例來說明：

當0＜a＜■時有f(■)=■=■，0＜a·■＜■=■，顯然4+■＜■，所以f(■)＞a■

當a≤0時有f(■)=■＞0≥a·■

所以構造反例不僅可以速解選擇題，也可速解解答題，尤其是在否定有關命題時更有效。

當然在教學中，對反例運用要精選，做到真實、生動，更要有典型性、針對性，才能發揮它的有效性。

參考文獻：

羅曾儒《數學解題學引論》