基于位置與速度控制的插齒策略及虛擬加工*

劉有余 韓 江

(①合肥工業大學CIMS 研究所，安徽 合肥230009;

②安徽工程大學先進數控和伺服驅動技術安徽省重點實驗室，安徽 蕪湖241000)

齒輪是一類量大面廣的基礎件，國內外學者針對高精高效制造技術一直進行積極探索，有些是對現有加工方法的改進或加工設備的改良［1］，有些致力于開發新型齒輪制造方法［2］。綜合來看，滾齒、插齒等高效率加工方法仍是大批大量生產之首選。相對滾齒，插齒所得齒形精度更高，后齒面粗糙度值更小;特別是多聯齒輪、內嚙合齒輪，插齒幾乎是不可替代的高效加工方法。

目前，以美國Gleason 系列插齒機為代表的國外插齒數控系統已達到較高水平。然而，國內業界較多關注機床本體的研制，高附加值的數控系統則由國外購置，限制了我國裝備制造業的發展。相對于傳統插齒機的性能改造［3］，實施“數控一代”機械產品創新工程，研制高性能數控插齒機，實現產品的升級換代更有現實價值。

1 插削原理及其運動

如圖1 所示，插削外嚙合斜齒輪時，插齒刀與齒坯的運動遵循外嚙合斜齒輪嚙合原理，構成展成運動，即插齒刀與齒輪的節圓為純滾動［4］。插齒刀旋轉的同時還沿軸向作向下插削主運動。為形成斜齒輪螺旋角βc，齒坯或插齒刀需有附加轉角運動，由于插齒刀及主軸的轉動慣量小于齒坯及工作轉臺的轉動慣量，為便于控制，在插齒刀上附加轉角運動。內嚙合斜齒輪的插削與此類似，不同點在于插齒刀與齒坯為同向展成［5］。

2 位置控制插齒策略及虛擬加工

(1)插齒策略及聯動模型

位置控制插齒策略指控制各插削運動軸的位移或角度值，即以各聯動軸的位置離散點為控制目標，這些離散點之間以直線或角度插補［6］逼近。采用圓光柵檢測轉臺的轉角φc，轉化為數字信號，作為基頻［7］之一，插齒刀轉角φb相對其聯動;采用直線光柵尺檢測插齒刀主軸垂直位移sz，轉化為數字信號，作為基頻之一，插齒刀附加轉角Δφb相對其聯動。

根據展成原理［5］，得

式中:Zc為齒輪齒數，Zb為插齒刀齒數。

根據斜齒輪特征，插齒刀主軸向上或向下移動一個插齒刀螺旋線導程，插齒刀附加轉動1 周［5］。如圖2 所示，插齒刀分度圓附加轉動弧長Δsb與sz為正比關系

式中:βb為插齒刀螺旋角，βb= -βc;db為插齒刀分度圓直徑;Δφb為插齒刀附加轉角。

對βb和βc取絕對值，插齒刀分度圓直徑為

式中:mn為斜齒輪法向模數。

式(3)代入式(2)，簡化為據式(1)和式(4)，斜齒輪插削位置控制模型為

式中:插齒刀螺旋線旋向與其轉動方向一致時取“-”，反之取“+”;為插齒刀合成轉角。

對內嚙合斜齒輪，βb=βc，同理可得插削位置控制模型見式(5)，且正負號的選取與內嚙合斜齒輪插削相同。

(2)虛擬插削驗證

當βc=0 時，斜齒輪轉化為直齒輪，式(5)仍可應用于直齒輪的插削。本文分別以外嚙合直齒輪、左旋斜齒輪、右旋斜齒輪及內嚙合直齒輪、左旋斜齒輪、右旋斜齒輪為例，采用Matlab 進行虛擬插削，驗證插齒刀軌跡包絡齒廓的正確性。齒輪、插齒刀幾何參數及插削工藝參數見表1。其中nc為齒坯轉速，vz為插齒刀沖程速度。

位置控制插齒策略采用自動編程思想［8］進行實現，首先根據工藝參數及齒輪幾何參數，按式(5)用計算機運算出sz、φc及φ*b位置數據，生成txt 文件，該文件通過DNC 輸入到CNC 裝置，經CNC 插補，控制相應軸的位置來實現插削加工。如圖3 所示，本文的虛擬插削讓齒坯靜止，插齒刀繞齒坯公轉，在圖形空間里顯示出插齒刀刀位軌跡。圖中γb為插齒刀公轉轉角;為插齒刀總轉角。此時，齒坯轉角φc轉換為γb，合成轉角轉換為等價合成轉角，有下列關系

式中:外嚙合齒輪插削取“+”，反之取“-”。

Matlab 讀取txt 文件數據后，按式(6)、(7)換算出γb和，并控制虛擬插齒刀按(sz，γb，)位置運動。各齒輪的虛擬插削刀具軌跡如圖4 所示，可見，各類齒輪均能采用位置控制插齒策略加工，控制模型正確可用。

表1 齒輪、插齒刀幾何參數及插削工藝參數

3 速度控制插齒策略及虛擬加工

(1)插齒策略及聯動模型

速度控制插齒策略指實時控制各插削運動軸的速度或角速度，即以電子齒輪箱控制各插削軸始終保持嚴格聯動關系。由于速度是位置對時間的微分，由式(5)得

為便于工程應用，將式(8)轉化為

式(9)即為斜齒輪插削速度控制模型，可應用于外嚙合或內嚙合斜(直)齒輪插削加工。

(2)虛擬插削驗證

速度控制插齒策略采用電子齒輪箱［7］進行實現，將聯動控制模型(9)固化到數控系統中，從人機界面輸入齒輪、插齒刀幾何參數及插削工藝參數，CNC 裝置即可按聯動要求控制各軸精確運動。

速度控制策略虛擬插削也采用表1 所示參數，插削6 種典型齒輪。與位置控制策略方法類似，令齒坯靜止，插齒刀繞齒坯公轉，在圖形空間里顯示插齒刀刀位軌跡。對式(6)、(7)微分并進行單位換算，得

式中:υb為插齒刀公轉轉速，r/min，為插齒刀等價合成轉速，r/min。

Matlab 按表1 參數及式(9)、(10)、(11)計算出各時刻的(vz，υb，N*b)，分別對時間積分即可獲得虛擬插削刀具軌跡，如圖5 所示。可見，各類齒輪均能采用速度控制插齒策略加工，控制模型正確可用。

相對圖4，圖5 中各對應齒輪的插削，由于以速度或角速度為控制對象，各軸在連續的位置上均滿足展成運動要求，加工精度更高;而位置控制策略對相鄰的微位置線段采用直線或角度插補，則在此微線段內各軸的運動并非按照聯動模型進行，存在一定原理誤差，故精度相對較低。

4 結語

(1)基于展成運動原理，根據插削運動特征及聯動關系，研究位置控制和速度控制插齒策略，建立相應聯動模型，分別采用虛擬插削進行仿真驗證。結果顯示:6 種典型齒輪均能采用2 種插齒策略進行加工，控制模型正確可用。

(2)虛擬插削揭示:速度控制策略可確保各軸在連續的位置上均滿足展成運動要求，加工精度更高;位置控制策略存在一定原理誤差，精度相對較低。

(3)所建立的插削策略及模型可應用于插齒數控系統的開發，虛擬插削結語對開發方案的選取有指導價值。

［1］田啟華，李慧，杜義賢，等.數控插齒機驅動箱系統綜合變形下齒輪承載能力分析［J］.組合機床與自動化加工技術，2012(5):32 -35.

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［4］Liu Y Y，Han J，Xia L，et al. Hobbing strategy and performance analyses of linkage models for non-circular helical gears based on four-axis linkage［J］. Strojniski Vestnik - Journal of Mechanical Engineering，2012，58(12):701 -708.

［5］Litvin F L，Fuentes A. Gear geometry and applied theory［M］. 2nd ed.New York:Cambridge University Press，2004.

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