一種改進的小波閾值降噪方法

李新君

（湖南人文科技學院機電工程系，湖南 婁底417000）

0 引言

任何信號在獲取和傳輸的過程中都會受到噪聲的干擾，所以，實際應用中獲得的信號大都是含有噪聲的。若不對含噪信號進行降噪處理則會影響到特征識別、分類等后續工作。信號降噪的目的就是在降低或者去除噪聲的同時最大限度地保留原始信號信息。近年來，隨著小波分析理論的發展和日趨完善，基于小波變換的信號降噪方法成為了研究熱點[1]。

用小波分析方法對信號進行降噪已有很多人進行了研究，也取得了相當多的理論成果。Donoho和Johnstone創立的基于小波變換系數取閾值的方法，取得了很大的成功[2-3]。該方法是為去除一維信號高斯白噪聲而開發的。其中小波閾值方法是應用很廣且降噪效果相當好的一種小波消噪方法，如硬閾值消噪方法和軟閾值消噪法都可取得較好的消噪效果。不過采用硬閾值消噪方法會在某些點產生間斷，而這些點有可能包含一些重要信息，采用軟閾值消噪方法則可能會造成邊緣模糊等失真現象。

針對上述算法的不足，本文提出了一種改進的軟閾值去噪算法，主要改進之處是就是當小波系數小于閾值時候，不再是直接地置為零，而是逐漸的減小直到為零；但是當系數大于閾值的時候，就用小波系數幅度值把閾值減掉。仿真結果表明該方法具有較好的消噪效果。

1 小波閾值降噪算法原理

含噪信號經小波分解后，信號的小波系數比較大,噪聲的小波系數相對比較小。如何選擇合適的閾值以保留信號的小波系數,而讓大部分噪聲的小波系數置為零是小波閾值降噪的目標。這種方法意味著，閾值化移去了小幅度的噪聲或非期望的信號，經小波逆變換后可以得到所需要的信號。由此可見，在小波分析用于降噪的過程中，核心步驟就是在系數上的作用閾值[4]。具體步驟為：①采用小波變換方法對含噪信號進行計算；②對分解得到的小波系數進行非線性閾值分析,閾值處理有硬閾值和軟閾值兩種方法；③最后再對該信號進行小波逆變換以得到降噪后的原信號。

（1）硬閾值方法

圖1 硬閾值函數

硬閾值函數如下：

把含噪信號的小波系數的絕對值與所選定的閾值λ進行比較，那些小于閾值的點變為零，而大于或等于閾值的點則保持不變，這種方法的缺點是在某些點可能會產生間斷，而這些間斷點卻有可能包含重要信息。

（2）軟閾值方法

軟閾值函數如下：

圖2 軟閾值函數

就是把含噪信號中的小波系數和閾值λ進行相互比較，把大于或等于λ的點就進行收縮處理為該點值與閾值的差值；小于或等于λ相反數的點收縮為該點值與閾值的和；小波系數絕對值小于閾值的點變為零。軟閾值處理相對要平滑，但是可能會造成邊緣模糊等失真現象。

（3）閾值的選取

用小波閾值降噪法降噪時，閾值的選擇是關鍵。Donoho于1994年提出了VisuShrink方法，這種方法在最大估計的限制下能夠得出最優閾值。閾值一般選取，但是其中的σ是噪聲信號的一個標準差，而N則表示信號的長度。即使通過Donoho的理論證明而且還找到了最優通用閾值，但是在實際的應用中效果并不是很理想。

與VisuShrink的方法類似，極小極大（Minimaxi）閾值方法也是一種固定的閾值選擇方式。它產生的是一個最小均方誤差的極值，而不是無誤差。在統計學上，這種極小極大原理用于設計估計器。因為消噪后的信號可以看作與未知回歸函數的估計式相似，所以這種極值估計器可以在一個給定的函數集中實現最大均方誤差的最小化。Minimaxi閾值計算公式見式3：

2 改進的小波閾值降噪算法

根據對小波閾值收縮降噪法的分析，可以知道降噪效果不僅與閾值λ的選擇有關，還與閾值函數的計算方法有關。目前閾值函數較為成熟的計算方法是軟閾值函數和硬閾值函數。但如前所述，軟閾值和硬閾值有它們各自的缺點：硬閾值法由于在λ處不連續，所得到的估計信號會產生附加振蕩；軟閾值法當≥λ 時，與 wj，k總存在恒定的偏差，直接影響著估計信號與真實信號的逼近尺度。

為了能夠有效地克服上述方法的缺點，本文提出了一種介于軟閾值和硬閾值之間的閾值函數。

閾值函數定義為

圖3 改進的閾值函數

從圖3中可知，改進的閾值函數位于硬閾值和軟閾值之間。就是當小波系數小于閾值的時候，不是直接地置為零，而是逐漸的減小直到零；但是當系數大于閾值的時候，就用小波系數幅度值把閾值減掉。采用這種做法，既能夠保證小波系數的準確性，同時又能保證加閾值后系數的平滑過渡。它就能夠有效地避免硬閾值的缺點，同時也改善了在λ處的連續性，最后還能改善估計信號的光滑程度；它有效的克服了軟閾值的不足，即當≥2λ 時，與 wj，k不存在的恒定的偏差，提高了估計信號與真實信號的逼近程度。

3 仿真及其結果分析

為了比較硬閾值降噪方法、軟閾值降噪方法以及本文所提出的改進算法對降噪的影響，可以利用MATLAB軟件進行仿真實驗[5]。仿真過程如下：

（1）將lececcum信號加上隨機高斯噪聲以產生含噪信號；

（2）分解，對含噪信號進行6層分解；

（3）先把第一層的噪聲標準偏差求出，再應用Minimaxi閾值方法來計算閾值；

（4）高頻系數的閾值選擇，對于從第一到第六層的每一層，選擇一個閾值，并且對高頻系數用本文所提出的閾值處理方法進行處理；

（5）重構，根據第六層的低頻系數和從第一層到第六層的經過修改的高頻系數，計算信號的小波重構。其仿真得到的結果如圖4所示。

圖4 仿真結果

從圖4中可以清楚地看到，應用改進的閾值函數進行降噪，確實可以克服硬閾值、軟閾值降噪的缺點，能夠得到很好的降噪效果。重構的信號既有和原始信號一樣的光滑性，又可以很好地保留信號的邊緣等局部特征。

4 結束語

本文主要針對小波變換閾值降噪方法中的硬閾值和軟閾值函數進行了分析比較。在采用硬閾值方法處理過程中，得到的小波系數在閾值處不連續，有可能引起重構信號的振蕩；而由軟閾值方法得到的小波系數雖然連續性好，易于處理，可是它與真實的小波系數之間存在著一定的偏差，必然就會降低重構信號的精度。針對以上不足，本文提出了一種改進的小波閾值降噪算法，該方法經仿真驗證表明，能夠比傳統閾值降噪方法更好的去除高斯白噪聲，保留原來信號的細節特征，而且算法并不復雜，是比傳統閾值降噪方法更為優越的降噪方法，具有一定的現實和推廣意義。

［1］翟振興.基于小波變換的信號去噪研究[D].重慶大學,2010.

［2］劉智.改進的正交小波變換閾值去噪算法研究[J].計算機仿真,2011,8.

［3］S G Mallat.A theory for multiresolution signal decomposition[J].The wavelet representation，IEEE Transactions on pattern analysis and machine intelligence[J].1989,11(7)：674-693.

［4］王慧琴.小波分析與應用[M].北京：北京郵電大學出版社,2011.

［5］楊丹,趙海濱,龍哲.MATLAB圖像處理實例詳解[M].北京：清華大學出版社,2013.