材料力學課程中內力計算的教學方法探討

韓志型

（西南科技大學，四川 綿陽 621010）

材料力學主要是研究處于平衡狀態的工程構件的內力、變形和失效規律，提出保證桿件具有足夠的強度、剛度和穩定性的設計方法和設計準則。構件內力的計算是分析構件強度、剛度、穩定性等問題的基礎。可見內力計算在材料力學課程中占有相等重要的地位。材料力學中內力計算主要是計算桿件的軸力、扭矩、剪力和彎矩，是比較容易掌握的內容。但是，本人在教學過程中發現始終有學生對內力的概念是模糊的，在計算內力時總會出現一些問題。最常見的問題是：（1）概念模糊；（2）內力計算不正確；（3）不清楚內力正負號的含義。針對這些問題，在講授桿件內力這部分內容時主要從以下幾個方面進行教學，效果良好。

1 重點強調內力的概念和特點

內力是指由外力作用所引起的物體內部的互相作用力。內力的特點：（1）內力隨外力的變化而變化;（2）內力是截面上的內力系向截面形心簡化后得到的主矢和主矩；（3）內力成對出現，且相互平衡。在教學過程中，要使學生理解內力的概念，掌握內力的要點：（1）內力是物體內部的相互作用力；（2）內力隨外力而變化；（3）內力是截面上內力系合成的結果，是一個力或一個力偶；（4）內力的正負號代只反映力的方向，不具代數大小的含義。

2 內力計算的基本方法

截面法是內力計算的基本方法，其計算步驟為：

①截開。在所求內力的截面處，假想地沿截面將構件截成兩部分。

②代替。任取其中一部分作為計算對象，在被截開的截面上用內力代表另一部分對該部分的作用力，畫出這部分的受力圖。

③平衡。根據受力圖建立平衡方程，計算出該截面上的內力。

用截面法計算內力，無論取哪部分來計算，其結果都一樣。

在教學過程中，首先要求學生必須理解內力的含義，掌握內力計算的基本方法即截面法，熟練地按照截面法的三步驟計算內力。在此基礎上，歸納出計算內力的規律。下面以例說明內力計算的教學方法。

圖1 截面法求指定截面m上的軸力

例：求圖1（a）所示軸向拉壓桿截面m的軸力。

解：按截面法的三步驟計算。

①截開。沿截面m假想將桿件截成左右兩段。

②代替。取右段分析，繪其受力圖如圖1（b）。軸力FN代表左段桿件對右段桿件在m截面上的作用力。

③平衡。根據受力圖列平衡方程：

FN－P－4P＝0 （1）解得 FN＝P＋4P＝5P

若取左段分析，用FN’代替右段桿件對左段桿件在m截面上的作用力。顯然FN與FN’是一對作用力和反作用力。根據如圖1（c）所示的左段桿受力圖列平衡方程

FN＇－8P－2P＋5P＝0 （2）解得 FN＇＝5P。

可見，無論取哪一段來計算，均可得出m截面上的軸力為拉力，大小為5P。

對于圖2所示的軸n截面上的扭矩T,用截面法取右段列平衡方程

T＋4Me－Me＝0 （3）得到 T＝－3Me

若取左段列平衡方程

T＋2Me＋Me＝0 （4）得到 T＇＝－3Me

同樣地，無論取哪一段來計算，均可得出相同的計算結果。因此，在具體計算內力時，只需取受力最簡單的一段來計算。

圖2 截面法求指定截面n上的扭矩

3 由截面法引生出內力計算的規則，簡化計算過程

3.1 軸力的計算規則

用截面法計算時需要畫出受力圖，然后再列出平衡方程，根據平衡方程求得結果。這個計算過程相對還是比較繁瑣，那么，能否不用畫受力圖，只需根據桿件上的外力就可以直接計算出任一截面上的內力呢？我們引導學生對平衡方程進行分析，以期找出計算內力的規律。式（1）表示的平衡方程可寫成：FN＝P＋4P＝ΣPi右＝5P，不難看出 m 截面上的軸力實際上就等于m以右桿件段上各荷載的代數和。若取左段分析，式（2）表示的平衡方程可寫成 ：FN＇＝2P－5P＋8P＝ΣPi左＝5P，實際上FN＇就等于m以左桿件段上各荷載的代數和。因此，根據平衡方程可以總結出來求軸力的規律。即任意截面上的軸力FN等于該截面一側（左側或右側）桿件上外力Pi的代數和。用公式表示為FN＝ΣPi左或FN＝ΣPi右。

同一個外力對于不同的截面所產生的作用效果可能不同，對某一截面而言是拉力，但對另一截面可能又變成了壓力。因此，在用上式計算軸力時，一些學生不清楚外力正負號如何取，容易將外力符號搞錯。對此在教學時就要強調軸力正負號的規定，軸力為拉力時取正號，為壓力時取負號，即拉為正壓為負。外力對計算軸力的截面而言為拉力，那么在該截面上產生的軸力必然也是拉力，這時，外力符號取正號。簡便的判斷外力的正負號的方法就是：外力的箭頭離開該截面為正，指向該截面為負。這樣一來，學生就不會弄錯外力正負號了。根據這一計算規律，無需繪受力圖就可以計算任一截面的軸力。

3.2 扭矩的計算規則

對于式（3）表示的右段軸的平衡方程可寫成：T＝－4Me＋Me＝ΣMei右＝－3Me。

式（4）表示的左段軸的平衡方程可寫成：T＇＝T＝－2Me－Me＝ΣMei左＝－3Me。

因此，也可以總結出來與計算軸力類似的計算扭矩的規律，即任意截面上的扭矩T等于該截面一側 （左側或右側）桿件上外力偶矩Mei的代數和。 用公式表示為T＝ΣMei左或 T＝ΣMei右。

外力偶矩Mei的正負號：按右手螺旋法則，大拇指尖離開該截面為正，指向該截面為負。

3.3 剪力、彎矩的計算規則

同樣地，也可以總結出來計算梁的內力——剪力和彎矩的規律。即：

（1）任意截面上的剪力FS等于該截面一側（左側或右側）桿件上在平行于剪力方向上的外力Pi的代數和。即FS＝ΣPi左或FS＝ΣPi右

外力Pi的正負號按左段向上右段向下取正號，相反取負號確定。

（2）任意截面上的彎矩M等于該截面一側（左側或右側）桿件上外力（包括外力偶）對該截面形心之矩的代數和。即M＝ΣMei左或M＝ΣMei右。

外力矩或外力偶矩正負符號按左段梁上的外力對截面形心的力矩是順時針轉動取正號，逆時針轉動取負號；右段梁上外力對截面形心的力矩是逆時針轉動取正號，順時針轉動取負號。即左順右逆為正，反之為負。根據彎矩正負號的規定，還可以總結出：對于水平梁凡是向上的外力對任意截面均產生正的彎矩。下面就以圖3（a）所示的梁為例來說明按梁的內力計算規則計算C截面上的剪力和彎矩。

首先計算出梁的支座反力，并將其標注于圖中，如圖3（b）所示。

再計算C截面的剪力和彎矩。由于C截面上有集中力偶作用，其彎矩將發生突變，因此需分別計算無限靠近C截面的左右兩側截面的剪力和彎矩。

按剪力、彎矩的計算規律，取C截面以左的梁段計算得：

顯然，取左段和取右段得出的結果一致。在計算時要觀察梁上的受力情況，再確定取哪一段來計算，可以使計算過程更簡單。

圖3 計算梁的剪力和彎矩

4 結語

從上面的分析過程可以看出，利用截面法得出的內力計算規則來計算桿件任意截面上的內力，非常簡便，不需要畫內力圖，只需根據桿件上的外力就可以快速得出計算結果。用這種方法計算內力，學生容易掌握，計算速度快且不容易出錯。因此在教學過程中，著重訓練學生采用這些規則來計算內力，取得了良好的教學效果。

［1］劉鴻文.材料力學[M].高等教育出版社，2011，2.

［2］李杰.《材料力學》內力圖教學的創新實踐[J].邢臺職業技術學院學報，2006,2.

［3］李云，孫華東.材料力學內力圖分析教學方法研究[J].甘肅聯合大學學報：自然科學版，2009,11.