波利亞與“怎樣解題”

楊麗霞

波利亞主張數學教育主要目的之一是發展學生的解決問題的能力，教會學生思考。1944年在美國出版了《怎樣解題》（How to solve it），其中“怎樣解題”表總結了人類解決數學問題的一般規律和程序，對數學解題研究有著深遠影響。解題方法數學問題規律程序波利亞曾經教過中學，長期從事大學數學教學工作。在漫長的歲月中，他的精湛的教學藝術與杰出的數學研究相結合，產生了他特有的豐富的數學教育思想。波利亞數學教育思想有兩個基點：其一是關于對數學科學的認識，其二是關于對數學學習的認識。其中他的《怎樣解題》產生深刻影響。

一、怎樣解題

1.理解題目

未知量是什么？已知數據是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知量，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？畫張圖，引入適當的符號。把條件的各個部分分開，能否把它們寫下來？

2.找出已知數與求知數之間的聯系

如果找不出直接的聯系，可能不得不考慮輔助問題，應最終得出一個求解的計劃。

擬訂計劃：你以前見過它嗎？是否見過相同的問題而形式稍有不同？是否知道與此有關的問題？是否知道一個可能用得上的定理？觀察未知量。試想出一個具有相同未知量或相似未知量的熟悉的問題。能應用它嗎？能不能利用它？能利用它的結果嗎？為了能利用它，是否應引入某些輔助元素？能不能重新敘述這個問題？能不能用不同的方法重新敘述它？回到定義去。

如果不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關的問題。能不能想出一個更容易著手的有關問題？一個更普遍的問題？一個更特殊的問題？一個類比的問題？能否解決這個問題的一部分？僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對于未知能確定到什么程度？它會怎樣變化？你能不能從已知數據導出某些有用的東西？

3.執行方案

執行解題方案，檢驗每一步驟。能否清楚地看出這一步是正確的？你能否證明這一步是正確的？

4.檢查已經得到的解答

回顧：能否檢驗這個結果？你能否用別的方法導出這個結果？你能不能把這結果或方法用于其他的問題？

二、例子

例題：已知長方體的長、寬和高，求它的對角線長度。

第一步：理解題目。

教師和學生之間的對話可以像下面這樣開始：

“未知量是什么？”“這個長方體的對角線的長度。”

“已知數據是什么？”“此長方體的長、寬和高。”

“引入適當的符號。用哪個字母表示未知量？”“x。”

“你選哪些字母來表示長、寬和高？”“a，b，c。”

“聯系a、b、c與x的條件是什么？”“x是長為a、寬為b和高為c的長方體的對角線長度。”

“這是一個合理的題目嗎？我的意思是，條件是否足以確定未知量？”“是的。如果我們已知a、b、c，我們就知道了長方體，如果長方體被確定，其對角線也就被確定了。”

第二步：擬定方案。

“你們知道一道與它有關的題目嗎？”“觀察未知量。你們是否知道有哪一道題目和這一道題目有相同的未知量？”“那么，未知量是什么？”“長方體的對角線。”“你們知道有什么題目和這一題目有相同的未知量嗎？”“不知道，我們從來沒碰到過關于長方體的對角線的題目。”“你們知道有什么題目和這一題目有相似的未知量嗎？”“你們看，對角線是一條線段，是一條直線的一部分。難道你們從未做過未知量是一條線段長度的題目嗎？”“我們當然做過這樣的題目。比如說求一個直角三角形的一條邊。”“很好。這里有一道題目和你們的題目有關而且以前解過。你們能利用它嗎？”“非常幸運的是，你們能想起一道與你們現在要解的題目有關，并且你們以前曾經解答過的題目。你們想要在這里應用它嗎？”“往這兒看，你們所記得的題目是關于一個三角形的。在你們現在的圖形里有沒有三角形呢？”引入一個直角三角形，圖中用陰影強調指出。

“我認為在圖中把那個三角形畫出來是一個很好的主意。你們現在有了一個三角形，但是你們有沒有找到未知量呢？”“未知量就是這個三角形的斜邊，我們可以用勾股定理把它計算出來。”

“如果兩條直角邊都是已知的，你們是會計算的，但是它們是否已知呢？”“其中一條直角邊是給定的，就是c。至于另外一條，我想也不難求出。對了，這條直角邊又是另一個直角三角形的斜邊。”“太棒了！現在我知道你們已經有了一個方案了。”

第三步：執行方案。

學生有了解題思路。他發現了一個直角三角形，這個直角三角形的斜邊就是要求的未知量x，它的一條直角邊是已知的高度c，另一條邊是長方體一個面上的對角線。也許必須激勵學生引入其他合適的符號。他應引入y來標記另一條直角邊，也就是長方體一個面上的對角線，這個面的兩條邊長分別為a和b。這樣，在引入了另一個求未知量y的輔助題目后，他解題的思路就更清晰了。最后，在先后對兩個直角三角形分別進行計算后，他可以得到：

第四步：回顧。

你能檢驗這個結果嗎？“你用到所有的已知數據了嗎？”“所有三個已知量a、b、c都在你的對角線公式中出現了嗎？”“假如a、b、c互換，表達式時候保持不變？”

三、對《怎樣解題》的評價

正如著名數學家范·德·瓦爾所說：“每個大學生，每個學者，特別是每個老師都應該讀讀這本引人入勝的書。”

參考文獻：

[1]百度百科.

[2]維基百科.

[3]G·波利亞著.涂泓，馮承天譯.怎樣解題.上海：上海科技教育出版社，2011.

[4]張奠宙，宋乃慶.數學教育概論.北京：高等教育出版社，2004.