分形圖形的Mathematica繪制

陳 頌 閆曉芳

（永城職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)中專部，河南 永城476600）

什么是分形幾何？通俗一點(diǎn)說(shuō)就是研究無(wú)限復(fù)雜但具有一定意義下的自相似圖形和結(jié)構(gòu)的幾何學(xué)。“分形”一詞譯于英文Fractal，系分形幾何的創(chuàng)始人曼德?tīng)柌剂_特于1975年由拉丁語(yǔ)Frangere一詞創(chuàng)造而成，詞本身具有“破碎”、“不規(guī)則”等含義。Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他發(fā)現(xiàn)的并以他的名字命名的集合，Mandelbrot集合圖形的邊界處，具有無(wú)限復(fù)雜和精細(xì)的結(jié)構(gòu)。

近年來(lái)，許多專家學(xué)者投入到分形的研究之中，例如，朱華、姬翠翠[1]在分形理論及其應(yīng)用中系統(tǒng)闡述了分形的理論知識(shí)和應(yīng)用領(lǐng)域；高劍波[2]則針對(duì)理論如何與現(xiàn)實(shí)結(jié)合的問(wèn)題展開(kāi)了討論。本文在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上，分析總結(jié)了不同的算法下，Mathematica程序編譯、繪制的分形圖形。本文的圖形均由Mathematica繪制而成。

繪制分形圖形主要有兩種方法：

1 逃逸時(shí)間算法

假設(shè)有一個(gè)充分大的整數(shù)N，當(dāng)未逃逸區(qū)域M中的初始點(diǎn)a經(jīng)過(guò)小于N次迭代就達(dá)到未逃逸區(qū)域M的邊界，甚至超出了邊界，我們就認(rèn)為點(diǎn)a逃逸出去了；而如果經(jīng)過(guò)N次迭代后a的軌跡仍未達(dá)到M的邊界，我們就認(rèn)為a是A上的點(diǎn)。用這樣的方法繪制出A的邊界圖形，這便是逃逸時(shí)間算法的基本思想。

以下是Mathematica用逃逸時(shí)間算法繪制M集圖形的程序：

Mandelbrot[zc_]：=Module[{z=0,i=0},While[i<100&&Abs[z]<2,z=z^2+zc;i++];i];

遷安海綿城市建設(shè)思路與創(chuàng)新模式研究 ……………………………………………………………………………… 孫迎春（4/49）

DensityPlot[Mandelbrot[xc+I yc],{xc,-2,1},{yc,-1.5,1.5},PlotPoints->100]

我們可以看出，相對(duì)于其它軟件，Mathematica非常適宜繪制分形圖形，它的程序可以非常簡(jiǎn)單。繪制的圖形如下：

圖1 Mandelbrot集

2 迭代函數(shù)系統(tǒng)法

迭代函數(shù)系統(tǒng)(IFS Iterated Function System，IFS)是生成分形吸引子的經(jīng)典方法，它所創(chuàng)建的分形圖永遠(yuǎn)是絕對(duì)自相似的。迭代函數(shù)系統(tǒng)仿射變換典型的變換是移動(dòng)，反射或翻轉(zhuǎn)，縮放，旋轉(zhuǎn)和剪切仿射變換。

謝爾賓斯基三角形(Sierpinski triangle)是一個(gè)非常有趣的圖案，有著悠久的歷史，在分形幾何中等領(lǐng)域里引起了人們極大地興趣，是用遞歸和隨機(jī)方式定義的幾何形狀，在極限情況下，它所表現(xiàn)的性質(zhì)并沒(méi)有隨機(jī)性。

生成算法如下：

（1）在三角形內(nèi)部隨機(jī)選取一個(gè)點(diǎn)作為初始點(diǎn)；

（2）在三角形的3個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取一個(gè)，求出該頂點(diǎn)與初始點(diǎn)連線的中點(diǎn)，畫(huà)出該中點(diǎn)；

（3）將（2）中的中點(diǎn)作為初始點(diǎn)，轉(zhuǎn)到（2）。

繪制謝爾賓斯基三角形的Mathematica程序如下：

With[{n=7},

Nest[(#/.poly ：Polygon[pts_,___]：>

Function[p,Translate[Scale[poly,1/2,{0,0}],p/2]]/@pts)&,

Graphics[{Hue@Random[],

Polygon@{{Sqrt[3]/2,-(1/2)},{0,1},{-(Sqrt[3]/2),-(1/2)}}}],n-1]]

繪制的圖形如下：

圖2 謝爾賓斯基三角形

雪花曲線也是重要的分形曲線，我們列出程序，讀者可以依照程序得出相應(yīng)的圖案：

g[l_]：=Flatten[

Replace[l,{u_->{u,Mod[u-1,6],Mod[u+1,6],u}},{1}],1];

list1={0,2,4};

ListLinePlot[

Prepend[Accumulate[

Replace[Nest[g,list1,5],{0->{1,Sqrt[3]},1->{2,0},

2->{1,-Sqrt[3]},3->{-1,-Sqrt[3]},4->

{-2,0},

5->{-1,Sqrt[3]}},{1}]],{0,0}],Axes->False,

AspectRatio->Automatic,AxesOrigin->{0,0}]

分形圖形的算法有很多，而數(shù)學(xué)軟件Mathematica非常適宜繪制分形圖形，它的程序可以非常簡(jiǎn)單，運(yùn)算速度也非常快，這種簡(jiǎn)潔、有效會(huì)給我們的學(xué)習(xí)和研究帶來(lái)很大便利，也契合數(shù)學(xué)應(yīng)用的精神。

［1］朱華,姬翠翠.分形理論及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社,2011.

［2］高劍波.復(fù)雜系統(tǒng)和涌現(xiàn)：理論如何與現(xiàn)實(shí)結(jié)合[J].力學(xué)進(jìn)展,2013,43(4)：359-389.

［3］林秋達(dá).基于三維 IFS 算法的建筑分形設(shè)計(jì)[J].世界建筑,2013(9)：106-109.

［4］靳曉曉;陳晨.分形開(kāi)拓?cái)?shù)字化圖形設(shè)計(jì)新思路[J].包裝工程,2013(22)：9-12.