“池塘有多少桶水”與“整體思想”

江蘇 蔣明玉

從前，有個(gè)國王在大臣們的陪同下，來到御花園散步。國王瞧著前面的水池，忽然心血來潮，問身邊的大臣：“這水池里共有多少桶水？”眾臣一聽，面面相覷，誰都答不出來。國王下旨：“給你們?nèi)鞎r(shí)間考慮，回答出來重賞，回答不出來重罰！”隨后幾天里，大臣們用桶量來量去，怎么也量不出一個(gè)確切的數(shù)據(jù)。眨眼三天到了，大臣們?nèi)砸换I莫展。就在此時(shí)，一個(gè)少年走向王宮，聲稱自己知道池塘有多少桶水。國王命令大臣帶少年去看池塘，少年卻笑道：“不用看了，這個(gè)問題太容易了！”國王樂了：“哦，那你就說說吧。”少年眨了眨眼說：“這要看那是怎樣的桶。如果和水池一樣大，那池里就是一桶水；如果桶只有水池的一半大，那池里就有兩桶水；如果桶只有水池的三分之一大，那池里就有三桶水；如果……”“行了，完全正確！”國王重賞了這個(gè)少年。

大臣們?yōu)槭裁床荒芙鉀Q國王的問題呢？原來，他們都掉進(jìn)了思維定勢(shì)的窠臼：一桶一桶地量。而那個(gè)少年則撇開了池塘的大小，從桶的角度思考問題，結(jié)果一下子就解決了。是的，我們?cè)诮獯饠?shù)學(xué)問題時(shí)，常常受條件和問題束縛，沒有把握局部和整體的關(guān)系，缺乏整體思想，往往把簡單的問題復(fù)雜化了。整體思想的基本特點(diǎn)是整體性，即把數(shù)學(xué)問題當(dāng)作一個(gè)整體來思考。在數(shù)學(xué)解題中，合理運(yùn)用“整體思想”，往往可以化繁為簡、化難為易。下面舉例來講。

一、在計(jì)算題解答中，綜觀整體，從整體上把握題目，合理靈活地解題。

【分析與解】如果用通分的方法計(jì)算，計(jì)算將是十分煩瑣。若將題目相同的和式假設(shè)為某一字母，計(jì)算就簡便了。

【例2】對(duì)32541這個(gè)五位數(shù)，能否改變各個(gè)數(shù)字的位置，把它變?yōu)橐粋€(gè)五位質(zhì)數(shù)。

【分析與解】許多同學(xué)的做法可能是先排除個(gè)位數(shù)2、5、4的情況，再逐步考察剩下的各種情況。其實(shí)，若從整體上把3、2、5、4、1五個(gè)數(shù)字考察一番，由于3+2+5+4+1=15，便一眼看出：無論怎樣變換位置，排出來的五位數(shù)一定是“3”的倍數(shù)，而不可能是質(zhì)數(shù)。

二、在面積計(jì)算題解答中，學(xué)會(huì)從整體上觀察圖形，進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，靈活而簡潔地解答問題。

【例3】 如圖1，長方形長8厘米，寬5厘米，求陰影部分的面積。

圖1

圖2

【分析與解】陰影部分是由三個(gè)三角形組成的，如果分別求出三個(gè)陰影三角形的面積，就會(huì)束手無策。從整體上看圖，三個(gè)三角形的高都是5厘米，而它們的底之和為8厘米，進(jìn)而對(duì)圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將三個(gè)陰影三角形轉(zhuǎn)化成一個(gè)三角形（如圖 2），即 S陰=S三角形ABC。

S陰=S三角形ABC=852=20（平方厘米）

三、在應(yīng)用題解答中，從整體上把握數(shù)量關(guān)系，靈活而合理地解答問題。

【分析與解】“參加的人數(shù)”與“未參加的人數(shù)”前后都發(fā)生了變化，但是六年級(jí)學(xué)生的總?cè)藬?shù)是不變的。可以從“參加的人數(shù)”前后發(fā)生的變化來考慮，“原來參加的人數(shù)”是總?cè)藬?shù)的，后來又有30人參加，“這時(shí)參加的人數(shù)”是總?cè)藬?shù)的所以“30人”所對(duì)應(yīng)的分率是（），因此算式是也可以從“未參加的人數(shù)”前后發(fā)生的變化來考慮，不難得出

【總結(jié)】把數(shù)學(xué)問題視作一個(gè)整體，從整體上把握問題的本質(zhì)和規(guī)律，運(yùn)用“整體思維”的方法解題，往往可以使解題靈活、巧妙。需要指出的是，運(yùn)用了“整體思維”，并不否定“對(duì)象思維”，相反，兩者要相互協(xié)調(diào)、有機(jī)統(tǒng)一起來。

【練一練】兩個(gè)形狀和大小都一樣的直角三角形ABC與DEF，如下圖放置，它們的面積都是2003平方厘米，而每一個(gè)三角形的頂點(diǎn)都恰好落在另一個(gè)直角三角形的斜邊上。那么長方形ADEC的面積為（ ）平方厘米。