零陷展寬對角載入算法

陳濤+隋莉莉+吳煥欣

摘 要： 提出了零陷展寬對角載入算法，該算法既解決了干擾在快速運動時，干擾零陷過窄的問題，又解決了協方差矩陣誤差和導向矢量誤差存在時，算法穩定性變差的問題。同時，通過對角載入因子和采樣協方差矩陣間的關系確定了對角載入算法載入因子的值。計算機仿真結果表明該算法有很好的穩健性，以及較寬的零陷。

關鍵詞： MVDR； 導向矢量； 采樣協方差矩陣； 零陷展寬； 對角載入； 載入因子

中圖分類號： TN911?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2014）07?0064?04

Null broadening and diagonal loading algorithm

CHEN Tao， SUI Li?li， WU Huan?xin

（College of Information and Communication Engineering， Harbin Engineering University， Harbin 150001， China）

Abstract： The null broadening and diagonal loading algorithm is proposed， which not only addresses the problem of narrow nulls as the interference in the fast movement condition， but also solves the problem of the bad algorithm stability as the error covariance matrix and steering vector errors existing. Meanwhile， diagonal loading factor values of the algorithm are determined based on the relationship between sample covariance matrix and diagonal loading factor. The computer simulation results show that the algorithm has good robustness， as well as broadening nulls.

Keywords： MVDR； steering vector； sample covariance matrix； null broadening； diagonal loading loading factor

0 引 言

波束形成技術被廣泛地應用在雷達、無線通信領域[1?4]。其中，MVDR自適應波束形成算法，因具有良好的分辨率和干擾抑制能力，被廣泛的使用。MVDR算法一般假定期望信號的導向矢量是精確已知的，但在實際中，由于指向誤差、陣元位置誤差以及各陣元特性不一致等因素影響，假設的期望信號導向矢量可能不完全準確，與真實值之間有失配誤差，從而導致MVDR算法性能急劇下降[5]；同時在窄帶條件下，MVDR算法在干擾方向形成的零陷較窄，當出現快速移動的干擾時，由于自適應權值的收斂速度比不上干擾的移動速度，在干擾方向不能形成有效的零陷，從而使MVDR算法失效。采用零陷展寬算法——協方差錐化（CMT）[6?7]法在干擾方向形成較寬的零陷，能有效地抑制快速移動的干擾。但是，由于實際環境中存在各種誤差， 協方差錐化法在實際使用中往往不能得到預期的結果。 因此，尋找出一種既對各種誤差有較強穩健性又對快速運動的干擾有抑制性的自適應波束形成算法是非常緊迫的。

近幾十年來，為了增強在各種誤差下自適應波束形成算法的穩健性[8]，學者們進行了大量的研究。其中，特征空間（ESB）算法、線性約束最小方差（LCMV）算法以及對角載入（LSMI）法是最具有代表性的算法。ESB算法[9]收斂速度比較快，但它需要準確估計出信號子空間的維數；LCMV算法通過適當的約束條件，控制某些方向波束的增益，使自適應波束滿足一定的穩健條件，但它只適合用在觀察方向出現失配時的情況；LSMI算法是一種簡單有效的方法，但是載入因子難以確定[10?11]。

本文針對MVDR算法在各種誤差下的性能下降及干擾快速變化時算法失效的問題，將對角載入算法與零陷展寬算法結合在一起，提出了零陷展寬對角載入算法。同時根據載入因子與采樣協方差矩陣間的關系來確定載入因子。零陷展寬對角載入算法利用對角載入算法提高波束形成對系統誤差的穩健性，同時利用零陷展寬算法能在干擾方向形成較寬的零陷，解決了干擾快速移動時，算法失效的問題。

1 傳統算法描述

1.1 陣列信號模型

在窄帶條件下，考慮[M]元均勻線陣，[D]個互不相關的信號。其中，期望信號波達方向是[θ0，][D-1]個干擾信號的波達方向分別是[{ θ1，θ2，…，θD-1 }，]有[M>D]。

第[l]個陣元端接收的信號為：

[xl（t）=i=0D-1si（t）e-j2πλ（l-1）dsinθi+nl（t）] （1）

式中：[si（t）]為信號的復包絡；[λ]為信號的波長；[d]為陣元間距；[nl（t）]為第[l]個陣元上均值為0、方差[σ2n]為1的白噪聲。

陣列接收的信號表示成向量的形式為：

[X（k）=AS（k）+n（k）=s0（k）a（θ0）+i（k）+n（k）] （2）

式中：[X（k）=[X1（k），X2（k），…，XM（k）]T]為接收向量；[A=][[a（θ0），a（θ1），…，a（θD-1）]]為陣列流型；[a（θi）]為信號[i]的導向矢量；[S=[s0，s1，…，sD-1]T]為信號源；[a（θ0）]為期望信號的導向矢量；[s0（k）]為期望信號；[i（k）]為干擾信號向量；[n（k）]為噪聲向量。

陣列輸出為：

[y（k）=wHX（k）] （3）

式中：[w=[w1，w2，…，wM]T]為權重向量，[（?）T]表示矩陣的轉置，[（?）H]表示矩陣的共軛轉置。

1.2 MVDR波束形成算法

MVDR波束形成算法使干擾和噪聲受到抑制而在陣列輸出中的功率最小，又能使期望方向上的信號功率保持不變。其代價函數為：

[minwHRxw subject to wHa（θ0）=1] （4）

式中[Rx=EX（k）X（k）H]為接收信號的協方差矩陣。

利用Lagrange乘子算法求出最優權重向量為：

[wopt=R-1xa（θ0）a（θ0）HR-1xa（θ0）] （5）

在實際應用中，[Rx]一般難以得到，往往用采樣協方差矩陣[Rx]代替[Rx，]假設快拍數為[K，]則：

[Rx=1Ki=1KX（i）XH（i）] （6）

此時MVDR波束形成算法又稱采樣協方差矩陣求逆（SMI）算法，則SMI算法的權重向量為：

[wSMI=R-1xa（θ0）a（θ0）HR-1xa（θ0）] （7）

從式（5）可看出在MVDR算法中，需要精確知道期望信號的導向矢量以及接收信號的協方差矩陣。然而，在實際中，由于指向誤差、陣元位置誤差以及各陣元特性不一致等因素影響，使得導向矢量存在誤差，同樣，在實際應用中，接收數據是有限長的，因此采樣協方差矩陣[Rx]代替接收信號的協方差矩陣[Rx]也會產生一定的誤差。導向矢量和協方差矩陣誤差使得MVDR算法的性能下降，尤其在接收數據中包含期望信號時，算法的穩健性更差。

除此之外，在窄帶條件下，MVDR算法在干擾方向形成的零陷較窄，當出現快速移動的干擾時，由于自適應權值的收斂速度比不上干擾的移動速度，在干擾方向不能形成有效地零陷，從而使MVDR算法失效。

針對MVDR算法在存在導向矢量誤差、協方差矩陣誤差，以及存在快速運動的干擾時，算法穩健性變差和干擾零陷過窄的情況，本文提出了一種穩健的MVDR算法——零陷展寬對角加載算法。

2 穩健的MVDR算法

2.1 零陷展寬對角載入算法

零陷展寬對角載入算法是把零陷展寬算法和對角載入（LSMI）算法相結合形成的一種穩健的自適應波束形成算法。該算法解決了干擾在快速運動時，干擾零陷過窄的問題，又解決了協方差矩陣誤差和導向矢量誤差存在時，算法穩定性變差的問題。因為該算法具有零陷展寬算法能在干擾方向形成較寬零陷的特點，又具有LSMI算法具有較高的穩健性的特點。

LSMI算法是用對角載入的協方差矩陣代替常規的采樣協方差矩陣，即：

[Rdl=Rx+ξI] （8）

式中[ξ]為對角載入因子。

CMT零陷展寬算法是通過一個錐化矩陣[TMZ]對采樣協方差矩陣[Rx]進行擴展。擴展后的采樣協方差矩陣為：

[RMZ=Rx?TMZ] （9）

式中：“[?]”為Hadamard積，[TMZ]第[m]行[n]列的元素可表示為：

[[TMZ]mn=sin（（m-n）Δ）（m-n）Δ] （10）

式中[Δ]為零限展寬參數。

通過式（8）和式（9）可得到零陷展寬對角載入算法的協方差矩陣[RC-T，]即：

[RC-T=RMZ+ξI] （11）

零陷展寬對角載入算法權向量為：

[wCMT-LSMI=R-1C-Ta（θ0）a（θ0）HR-1C-Ta（θ0）=（RMZ+ξI）-1a（θ0）a（θ0）H（RMZ+ξI）-1a（θ0）] （12）

從式（12）中可以知道零陷展寬對角載入算法需要知道期望信號的導向矢量、擴展后的采樣協方差矩陣[RMZ]以及對角載入因子[ξ。]但是對角載入因子[ξ]一般很難確定，而且對角載入因子的大小會影響自適應波束的效果。當載入因子過小時，波束旁瓣的高度不能有效的控制；當載入因子過大時，對干擾抑制效果的靈敏度會有所影響。針對以上情況，本文提出一種動態的確定對角載入的方法。

2.2 確定對角載入因子

首先，對協方差矩陣[Rx]進行特征分解，可寫成如下形式：

[Rx=i=1Dσ2iuiuHi+σ2nI=AΛAH+σ2nI] （13）

式中：[σ2i]代表第[i]個信號的功率，[ui]是[Rx]特征值對應的特征向量；[Λ=diag[σ21，σ22，…，σ2D]]為對應信號的功率構成的對角矩陣。

采樣協方差矩陣[Rx]和真實的協方差矩陣[Rx]之間的關系：

[Rx=Rx+εE] （14）

式中：[E]是均值為0，方差為1的矩陣；[ε]是個大于零的常數，表示采樣協方差矩陣[Rx]的估計誤差。

對角載入后的協方差矩陣為：

[Rdl=Rx+εE+ξI] （15）

則對角載入后協方差矩陣的逆矩陣為：

[R-1dl=（Rx+εE+ξI）-1=（Rx+ξI）-1[I+εE（Rx+ξI）-1]-1] （16）

又假設 [εE<

[R-1dl≈ （Rx+ξI）-1[I-εE（Rx+ξI）-1] ≈（Rx+ξI）-1I-εξ+σ2nE[I-A（AHA+（σ2n+ξ）Λ-1）-1AH]] （17）

式（17）第一個小括號中的數據接近[Rx，]所以對角載入因子[ξ]應該小于[Rx]的對角元素。即：

[ξ

式（17） 中大括號部分導致了自適應波束性能降低。為了得到最優權，希望有：

[εξ+σ2n<1?ε<ξ+σ2n] （19）

由于[σ2n>0]，根據式（18）和（19） 可得：

[ε≤ξ

在實際環境中，由于真實的協方差矩陣[Rx]是無法得到的，因此估計誤差[ε]不可能確定。只能通過采樣協方差矩陣[Rx]估計真實協方差矩陣[Rx]的對角元素和估計誤差[ε。]

真實的協方差矩陣[Rx]對角元素值相同，但估計協方差矩陣每個元素都有誤差。誤差矩陣[E]是均值為0，方差為1的矩陣，因此， [Rx]的對角元素，可以利用[Rx]的對角元素求平均得到，而[ε]可以通過[Rx]的對角元素的標準偏差得到。則對角載入因子應滿足：

[std（diag（Rx））≤ξ

式中：[std]表示標準偏差；[diag]表示矩陣的對角元素；[trace]表示矩陣的跡。因[Rx]的對角元素的[std]計算簡單，取不等式的左邊等號計算對角載入因子，即對角載入因子為：

[ξ=std（diag（Rx））] （22）

2.3 算法流程

零陷展寬對角載入算法流程總結如下：

（1） 通過式（6）計算出采樣協方差矩陣[Rx；]

（2） 通過式（22）計算出對角加在因子[ξ]的值；

（3） 利用式（6）和式（10），通過式（9）計算出擴展后的采樣協方差矩陣[RMZ；]

（4） 利用式（9）和式（22），通過式（11）計算出零陷展寬對角載入算法的協方差矩陣[RC-T；]

（5） 在期望信號[θ0]已知的情況，信號的導向矢量[a（θ0）]是已知的，利用[RC-T]和[a（θ0）]通過式（12）求出零陷展寬對角載入算法權向量[wCMT-LSMI]。

3 實驗仿真及結果分析

采用16元均勻線陣，陣列間距為半波長，快拍數[K=]100，干噪比INR=45 dB，信噪比SNR=10 dB，假設期望信號角度DOA=0°，干擾信號角度DOA=-35°。

理想條件：假設期望信號角度與信號實際到達角度間誤差為0°，且訓練數據中不包含期望信號。

實際條件：信號的實際到達角度DOA=1°，與假設的期望信號角度相比偏差1°，且訓練數據中包含期望信號。

仿真一：對角載入因子的值不同時，LSMI算法的性能。

因為對角載入因子很難求，一般根據經驗選擇特定的值，典型的就是[ξ=10σ2n]，本文中[σ2n]為1，所以仿真中取[ξ]=10，更具一般性。仿真結果如圖1所示。

從圖1（a）中可看出，在理想條件下，[ξ=trace（Rx）/M]在干擾出形成的零陷最窄，其他兩種情況下零陷接近；從圖1（b）中可看出，在實際條件下，[ξ]=10時，陣列主瓣最高增益沒有指向實際角度1°，算法性能有所下降，而對其他兩種情況算法性能影響不大。

所以結合圖1的方向圖可以得出[ξ=std（diag（Rx））]時，本文算法比一般的使用固定加載值的算法要優越。

仿真二：不同算法陣列方向圖比較。

NVDR、LSMI及本文算法的仿真結果如圖2所示。

從圖2（a）中可以看出，在理想條件下，三種算法在期望方向上都形成了高增益，并且在干擾方向上都形成了較深的零陷。因此達到了提取期望信號并且抑制干擾的目的。但是MVDR算法的副瓣較高，而且形成的零陷較窄，而本文所提零陷展寬對角載入算法不僅副瓣較低而且零陷展寬效果明顯優于其他兩種算法。

從圖2（b）中可以看出，在實際條件下，MVDR算法在期望信號上產生零陷，使期望信號被當干擾抑制掉了，而LSMI算法和本文所提零陷展寬對角載入算法在期望信號方向上的增益很高，具有很高的穩健性，并且零陷展寬對角載入算法在干擾方向形成效果優于LSMI算法的展寬零陷。

圖1 理想條件和實際條件下不同載入值LSMI算法

圖2 不同算法陣列方向圖比較

仿真三：不同快拍[K]及輸入信噪比時陣列的輸出信干噪比。

考慮訓練數據中包含期望信號時，信號到達角無偏差，和偏差為1°時陣列的輸出信干噪比SINR（[θs=1?]代表偏差為1°）。仿真結果如圖3所示。

圖3 不同快拍[K]和不同信噪比SNR時陣列輸出SINR

從圖3（a）中可以看出，當沒有誤差時，本文算法和MVDR算法的變化趨勢相同，即快拍數越少輸出的信干噪比SINR與理想SINR之間的差距越大，越大越接近于理想值，當兩方法快拍數[K]相同時，本文算法的輸出SINR高于MVDR算法。當存在誤差時，MVDR算法的輸出的SINR變小，而對本文算法的輸出SINR影響較小，可見對角載入算法提高了MVDR算法的穩健性，尤其在快拍數較少及期望信號存在誤差時，性能改善非常明顯。

圖3（b）中期望信號存在偏差時，隨著信噪比SNR的增加，MVDR算法的輸出信干噪比性能下降越明顯，而本文算法對信號方向偏差的敏感度較低，輸出的信干噪比更接近理想值。

可見本文算法不僅能夠提高MVDR波束形成器在小快拍、高信噪比時的穩健性，而且能夠提高它對導向誤差的穩健性。

4 結 論

針對MVDR波束形成算法在實際應用環境中性能下降的問題，本文提出了零陷展寬對角載入算法，該算法把零陷展寬算法和LSMI算法結合在一起，然后根據協方差矩陣的估計誤差來自適應地確定對角載入因子。仿真結果表明：該算法在低快拍數，期望信號存在偏差即導向矢量存在誤差的情況下仍具有較好的波束形成性能，且在干擾方向上形成較寬的零陷。它能改善干擾的入射方向變化過快，可能使得干擾移出天線陣方向圖零陷位置而無法得到有效的抑制的情況。總之，該算法是一種穩健的且性能優越的波束形成算法。

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