起主導作用的特殊情形的注釋和實踐

楊燕

摘 要：波利亞在其名著《數學與猜想——數學中的歸納和類比》中對特殊與一般的關系作了深入的闡述，其中以“起主導作用的特殊情形”給筆者留下的印象最為深刻。

關鍵詞：主導；數學

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）03-260-01

波利亞在其名著《數學與猜想——數學中的歸納和類比》中對特殊與一般的關系作了深入的闡述，其中以“起主導作用的特殊情形”給筆者留下的印象最為深刻，且在解題中屢試不爽，現將這一思想介紹給大家，并提供兩個實例，與諸位共享。

一、引文——波利亞對“起主導作用的特殊情形”的注釋

多邊形面積為 ，其所在平面與另一個平面的交角是 ，求這多邊形在另一平面上正投影的面積.

由于沒有指定多邊形的形狀，但是有無窮的各種各樣可能的形狀，應該首先討論哪種形狀呢？

有一種形狀討論起來特別方便：底邊平行于兩個平面的交線的矩形，設這種矩形的底是 ，高是 ，其面積為 ，其投影長度分別是 ，投影面積是 .故若多邊形面積是 ，則投影面積是 .

底邊平行于 的矩形不僅是特別容易處理的特殊情形，而且又是一種有主導作用的特殊情形，主導特例的解包含了一般問題的解.故由此可以推廣到直角邊平行于 的直角三角形（用對角線平分上述矩形）；再推廣到一種平行于 的三角形（由上述兩個直角三角形組成）；最后推廣到一般多邊形（可以分解為前述許多三角形），甚至我們還可以推廣到曲邊形（看作多邊形的極限）

二.例證——對“起主導作用的特殊情形”的實踐

例1：已知圓 ，直線 過定點 . 若 與圓相交于 兩點，線段 的中點為 ，又 與 的交點為 ，判斷 是否為定值，若是，則求出定值；若不是，請說明理由.

評析：首先看下面的解法：

直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，可設直線方程為 .

這一解法可謂中規中矩，但思維含量少，缺乏創意，使這道獨具匠心的試題趨于平淡.看下面的分析：

⑴考察起主導作用的特殊情形（如右圖）：直線 經過圓 的圓心 ，此時 的中點與圓心 重合，且 的直線方程為： .

.

以過圓心C的直線 作為“起主導作用的特殊情形”，雖淺顯自然，但直擊本質，抓住了問題的主要矛盾，為思維的進一步展開奠定了基礎；接著分別構造兩個直角三角形，將一般情形巧妙地化歸為特殊情形，凸現出特殊情形的主導地位，而其中結論“ ”的發現是關鍵，是一個平淡中見神奇的亮點，也正是本題最精致的地方，真可謂意境深遠！

“起主導作用的特殊情形”有時并不能完整得出問題的解答，而僅僅從一個側面起到制約和導向作用，為思維的順利展開提供一個方向，成為整個問題的一個依托點。

參考文獻：

[1] 波利亞.數學與猜想——數學中的歸納和類比.北京.科學出版社.2001.