古塔的變形情況及趨勢研究

王飛 WANG Fei；章茜 ZHANG Qian

（浙江機電職業技術學院，杭州 310018）

（Zhejiang Institute of Mechanica1&E1ectrica1 Enginnering，Hangzhou 310018，China）

0 引言

目前現存數量不多的古塔是一種古代高層建筑，標志著古代人們征服自然的勝利。它們無論對于研究我國古代建筑技術的發展，還是研究我國古老的歷史、文化、藝術、宗教以及政治、外交及經濟等均具有極其重要的意義。為了對現存的古塔進行科學合理地保護，就必須掌握并研究古塔的變形情況。

本文研究的題目及數據均源自2013年全國大學生數學建模競賽C題，數據（見附表）來源于四個年份的對古塔每一層的觀測數據。通過題目分析，通過將問題轉化，利用初等數學模型對古塔的傾斜程度、彎曲程度及扭曲程度進行研究，同時采用灰色預測模型GM（1，1）分別對古塔進行傾斜程度、彎曲程度、扭曲程度的預測分析，為古塔的修復工作提供了一定的參考依據。

1 問題分析

根據題目，需要建立數學模型，解決如下幾個問題：①給出確定古塔各層中心位置的通用方法，并列表給出各次測量的古塔各層中心坐標。②分析該古塔傾斜、彎曲、扭曲等變形情況。③分析該古塔變形趨勢。

由于每一層各觀測點的豎坐標變化不大，則取其平均值作為中心位置的豎坐標。對于橫、縱坐標，我們將同層各點投影到x0y平面內，發現圖像近似于一個橢圓，通過基于最小二乘法的擬合求得相關的橢圓方程，則橢圓的中心便是所求的中心位置。利用古塔各層的中心位置，通過投影法，引進傾斜角、兩線段夾角可以研究古塔傾斜、彎曲、扭曲等變形情況。最后結合問題1、問題2的結論，建立數學模型，分析古塔的變形趨勢。

2 模型建立及求解

2.1 數據預處理 根據題目附表中所給出的數據，發現四個年份每一層的觀測數據大部分都是8組，但是1986年與1996年中第13層的觀測數據只有7組，將上下兩層的數據取平均值當做缺失的觀測數據，2009年與2011年的塔尖觀測數據只有一組，就取這一組作為塔尖觀測數據。

2.2 確定古塔各層中心位置 由前面的問題分析，中心位置的豎坐標由每一層各觀測點的豎坐標的平均值來確定，而中心位置的橫、縱坐標通過基于最小二乘法的橢圓擬合算法結合MATLAB軟件實現。

2.3 古塔變形情況分析

2.3.1 傾斜情況分析 為了分析古塔的傾斜程度，把古塔的第一層視為塔底，連接第一層中心與塔尖的中心，并過塔尖的中心作第一層的垂線，連接射影構成直角三角形，則垂線和兩中心連線的夾角即為古塔的傾斜角，利用該角可分析古塔的傾斜程度。利用射影和垂線的比值，再求這個比值的反正切值就是傾斜角的值，表1是各觀測年份的傾斜角w的值。

表1 傾斜角的w值（弧度制）

由表1看到古塔在觀測的4年內均有傾斜，且隨著年份的增加，有變大的趨勢。

2.3.2 彎曲情況分析 彎曲的產生實際上是由各層之間的傾斜角的不同造成的，分析該古塔的彎曲程度，先計算古塔各層的傾斜角，再利用各層之間的傾斜角的差值情況來考慮。利用MATLAB軟件計算古塔各層的傾斜角度，具體見表2。

根據表2可得1986年-1996年的古塔的彎曲變形情況差不多，且2009年-2011年的彎曲變形情況差不多，但是1996年-2009年的彎曲變形相對較大，古塔的2-5層、11-12層及頂層的彎曲度程變小趨勢，6-10層、13層的彎曲度程變大趨勢，其中古塔的中間層，即第7層變化最小。

表2 古塔4年每層的傾斜角度（弧度制）

同時可根據Δk=ki+1-ki（ki為古塔第i層的斜率）來計算每兩層的傾斜角的變化情況，發現古塔3-4層，4-5層，7-8層，9-10層，10-11層，12-13層這幾組的數據，前兩年和后兩年的正負性發生了改變，說明這幾層的彎曲程度變化趨勢并不是穩定的，期間可能受地震、颶風等自然災害的影響。

2.3.3 扭曲情況分析 扭曲是指不同水平面之間的相對旋轉，先分別將古塔相鄰兩層中心進行連線，將這些連線都投影到第一層所在的平面，以前兩層的中心連線的投影作為參照物，若后兩層中心連線的投影與之形成一定的角度，則可說明古塔發生扭曲現象。

由直線上兩點的斜率公式，先求得古塔相鄰兩層的中心連線的斜率Kj。再根據所求斜率運用MATLAB軟件計算出后兩層中心連線的投影到前兩層中心連線的投影的角的正切值，最后利用正切值求得相應的角度，以弧度制表示，結果如表3。

表3 古塔4年各層的扭曲角度（弧度制）

由表3可知，古塔各層扭曲程度基本隨著年數的增加呈變大趨勢，第11層、13層及塔尖除外。同時用扭曲角度的正負表示古塔的扭曲方向，正的表示逆時針方向扭曲，負的表示順時針方向扭曲，發現古塔的同一層在不同的年份（如第8層、第10層、第11層）扭曲方向發生變化。

另外，觀察古塔底層的中心Z軸坐標，發現值不斷變小，也就是古塔隨著時間的推移慢慢往地下沉。

2.4 古塔變化趨勢預測 對該塔的變形趨勢進行預測，主要從傾斜、彎曲、扭曲這三個方面進行考慮，由于只有四年，數據非常少，且變化趨勢也不明顯，難以單純的從擬合的角度進行發展趨勢的預測，而灰色模型系統可以解決這類問題，因此，利用灰色系統模型GM（1，1）的方法來研究相應問題。

2.4.1 傾斜程度變化趨勢預測

利用灰色模型GM（1，1）進行建模預測。

①原始數據序列：

②進行一次累加序列：

③建立矩陣B,Y：

④根據(BTB)-1BTy估計：

⑤求得時間響應方程：

⑥若要擬合已知值或計算預報值，則可用后減運算（即后一項減去前一項）還原求得。

⑦利用灰色系統理論建模軟件計算求得殘差=0.00000000及平均相對誤差=0.42714470%，說明該預測模型的擬合預測情況較好。

2.4.2 彎曲程度的趨勢預測 同理，利用灰色系統理論建模軟件對古塔各層的彎曲程度預測模型進行檢驗，如表4。

表4 彎曲趨勢預測模型檢驗

由表4說明該模型的擬合預測情況也較好。

2.4.3 扭曲程度的趨勢預測 同理，利用灰色系統理論建模軟件對古塔各層的扭曲程度預測模型進行檢驗，如表5。

表5 扭曲趨勢預測模型檢驗

由表5說明第7層，第10層及塔尖的扭曲程度預測模型的擬合、預測情況不是太理想，其余的情況較好。

3 模型評價及改進

3.1 模型優缺點

本模型的優點：

①對于古塔傾斜程度、彎曲程度及扭曲程度的研究，將問題轉化，變成可以利用初等數學的思想進行建立相關的數學模型，簡潔明了；

②根據題目給的數據的特點，利用灰色預測模型GM（1，1），得到相應的時間響應函數，同時利用灰色系統理論建模軟件對所建立的模型進行殘差分析，得出模型的適用性，具有一定的可信度該方法還可推廣到引起古塔產生變形的其他因素的研究；

③本模型可用于諸如上海明珠電視塔等剛性高層建筑物的變形情況研究。

本模型的缺點：

①對附表中一小部分殘缺數據進行人為處理，會產生一些誤差。

②在假設中假設第一層是水平面所得到的數據存在一定的誤差。

③在研究傾斜程度、彎曲程度及扭曲程度的過程中未考慮古塔各中心的豎坐標分量，存在一定的誤差。

3.2 模型改進

在模型上存在個別數據殘差較大的情況，還應盡可能采用多種方法進行擬合，而不是單一方法，以提高精確性。

綜上所述，本文通過問題轉化，建立初等數學模型研究古塔的傾斜程度、彎曲程度及扭曲程度，通過建立灰色預測模型GM（1，1）研究古塔的變形趨勢。它能從數學意義上描述古塔各層的中心位置與三個引起古塔變形因素之間的關系，并且比較直觀，為研究古塔的變形情況的工作者提供的一種方法。建模過程中使用了MATLAB等數學軟件，利用數學軟件作為學習平臺，能夠有效培養學生的數學建模能力，提高高職數學的教學效率。

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