聚焦數學建模釋放學習活力

黃樂華

(韶關學院韶州師范分院數學系，廣東韶關 512026)

當前我國高等數學教育存在的問題，確實給學生主體活力帶來障礙，對學生潛力發揮形成束縛.“如何釋放學生的活力、開發學生的潛力”已成為深化數學教育改革的重點、難點.在我國，自1994年全國大學生數學建模競賽舉辦以來，競賽的規模以年均增長25%以上的速度蓬勃發展:從1994年196個學校的867支參賽隊，到2013年1326個學校的23193支參賽隊，參賽隊壯大了近27倍.光明日報在《數學建模競賽實現了什么》[1]一文從“提高學生綜合素質”、“推動高校教育改革”、“數學建模競賽的國際效應”等方面介紹了數學建模.

作為一項改革實踐，數學建模出發點和落腳點是培養學生的創新精神和實踐能力，根本目的是提高學生的綜合素質.作為一種成功的教學實踐，數學建模以重點突破、整體推進的方式推動高等數學教育改革，它究竟在提高高等數學教學質量方面有何作為，又是如何起到“一子落而滿盤活”的效應的?下面筆者從以下三個方面對此進行闡述.

1 數學建模以數學文化為支撐，激發學生學數學、用數學的內生動力和長遠后勁，讓學生發展的空間更廣

數學教育本質上是一種素質教育.目前教育中存在一種比較普遍的傾向，就是人為地將知識、能力和素質分離、隔裂甚至對立起來，而不是將它們看成緊密聯系的整體，以至于學生學習數學的內生動力不足，也缺乏長遠后勁.數學在多大程度上落實素質教育的要求，取決于學習知識、培養能力和提高素質這三者之間的平衡，把握好它們之間的度著力點在于數學文化.

大家知道，數學歷來是人類文化的一個重要組成部分，一直是形成現代文化的主要力量.那么數學究竟是通過什么途徑形成文化力的呢?搞清楚這個問題才能以正確的方式將數學文化的核心價值觀轉化為學生的自覺追求，也是把握學生學習數學定力的關鍵所在.

數學文化的核心價值觀是公理演繹體系.公理演繹體系的發明者是古希臘數學家歐幾里德，他在《幾何原本》中將概念、公理和定理用邏輯關系整合在一起，成為一種層層推進、步步關聯的理論體系.后來，牛頓用自己發明的微積分方法詳盡描述了物體的運動，并把由此獲得的運動規律與若干基本物理與力學概念結合在一起，構成了一個嚴密的公理化系統，幾乎把當時已知的自然知識全部囊括其中.伴隨著經典物理學的成功，公理演繹體系成為科學理論的“標準模型”，成為強有力的理論分析工具，也成為一種幾乎無堅不摧的科學方法.

公理化演繹突出地表現為數學的思考方式.在人們認識世界和改造世界的過程中，數學作為一種精確的語言和一個有力的工具，一直發揮其關鍵性、甚至決定性的作用.數學之所以起著極其重要的作用，非常關鍵的一點就是，“數學在科學中的一個關鍵作用就是創建能容許人們對事實上是遠為混亂的東西形成概念的理想化”[2]，運用數學特有的符號語言去把實在抽象為理想化的東西，也就是說用凝練、準確的語言把所要研究的問題描述成數學問題.更為重要的是，“數學的思考方式有著根本的重要性.簡言之，數學為組織和構造知識提供方法.一旦數學用于技術，它就能產生系統的、可再現的并能傳授的知識.分析、設計、建模、模擬和應用便會變成可能的高效的富有結構的活動”[3]，同時使得“數學除了鍛煉敏銳的理解力、發現真理以外，它還有另一個訓練全面考察科學系統的頭腦的開發功能”[4].因此，數學的核心價值觀表現在極其重要的數學思考方式，并通過這種方式實現數學的強大文化力.

數學模型以數學文化為支撐，本質要求理論與實際相互印證.通過數學建模，可以促進數學和其他學科、數學和文化的高度融合，并通過數學模型使得數學成為改造、理解、描繪、創造現實世界的一種力量.學生學習、掌握數學模型有利于打通數學通向文化的通道，對學生學習數學將起到固本培元的作用.在數學建模過程中，學生接觸的是生動的、充滿活力的數學知識，經歷的是發現和創造的過程，感悟的是數學的理性精神，收獲的是知識、能力及素質的迅速成長，看到的是數學的廣闊空間，影響的是發展空間更廣.

2 數學建模以數學實踐為著力點，推動學生養成理論聯系實際的學習作風，讓學生學習的動力更強

從辯證唯物觀點看，數學作為對客觀世界的一種認識，遵循著實踐——認識——再實踐的認識過程，也就是說數學發展的根本動力或源泉是實踐.數學家馮·諾意曼認為，“數學思想來源于經驗，我想這一點是比較接近真理的，真理實在太復雜了，對之只能說接近，別的都不能說，……換句話說，在距離經驗本源很遠很遠的地方，或者在多次‘抽象的’近親繁殖之后，一門數學學科就有退化的危險.……總之，每當到了這種地步時，在我看來，唯一的藥方就是為重獲青春而返本求源:重新注入多少直接來自經驗的思想.我相信，這是使題材保持清新與活力的必要條件，即使將來，這也是同樣正確的.”[5]數學教育應返璞歸真，真實反映數學發生、發展的原本過程，讓數學回歸經驗、回到具體的情形，在純數學和應用科學之間建立有機的結合，在抽象的共性和豐富多彩的個性之間建立牢固的平衡，這是數學獲得源源不斷的發展動力的所在.

從教育角度看，數學教學正處于嚴重的“脫離實際”的危險之中，直接對學生學習數學的動力構成嚴重的威脅.李大潛院士[6]表示，“數學原來的教學是有缺陷的.過去數學教學有天衣無縫的數學體系，看起來很美，但忽略了來龍去脈，成為一個封閉的體系”.“美的缺陷”只看到數學抽象、嚴謹的形式特征，卻割裂了數學與外部世界的聯系，使得學生認為數學是定義、規則和演繹法的游戲，以至于學生不會把具體問題數學化，即便要求他們運用數學知識解決哪怕十分簡單的實際問題也會手足無措、一籌莫展，既沒有動力也沒有目標.教學應徹底改變這種僵化狀態，可靠的、甚至唯一的路徑就是順勢而為，著力反映生動的數學實踐.在此基礎上，因勢而謀，把數學建模貫穿于數學的各門學科作為謀劃學生發展的重要舉措.因為，“只有在以達到有機整體為目標的前提下，以及在內在需要的引導下，自由的思維才能作出有科學價值的成果來”[7].

從學生角度看，數學建模是學生走向數學應用的必經之路，是學生形成理論聯系實際的學風的重要途徑.數學固有的實踐性特征，決定了數學建模也是一種學習，其重要性不低于數學理論的學習.另外，學習的目的全在于應用，根本目的在于增強解決實踐問題的本領.“為學之實，固在踐履.茍徒知而不行，誠與不學無異”，說的就是學習的目的在于實踐.通常講數學學習，主要是指數學理論的學習，并認為只要掌握了數學理論，自然而然就能運用數學，這種看法是非常錯誤的.知識向能力的轉化，媒介就是實踐.數學建模既是數學應用的切口，也是數學實踐的載體.這個小切口能夠解決大問題，在數學建模中學生能真正做到“做中學”，真正認識到學以致用、用以促學、學用相長的辯證關系，從而內化于心、外化于形，并進一步形成理論聯系實際的學習作風.

數學建模實用且充滿挑戰，如“血管的三維重建”、“公交車調度”、“奧運會臨時超市網點設計”、“長江水質的評價和預測”等等.通過它，學生就能以一種踏石留印、抓鐵有痕的實踐方式，真正體會到“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”這句話的含義，從而促進學生對數學真正的理解與深入的獨立思考，推動學生養成理論聯系實際、知行合一的行為習慣，讓學生的學習動力更足、更強.

3 數學建模以數學創造為突破口，激勵學生樹立問題意識、求新求變的實踐態度，讓學生創造的活力更大

數學應用于實際問題的研究，其關鍵就在于能建立一個較好的數學模型.就其全過程來看，大體上可歸納為三個步驟.第一，對某個實際問題進行觀察、分析，把問題中的次要因素、次要關系、次要過程先撇在一邊，抽出主要因素、主要關系、主要過程，作出合理的簡化、假設;第二，確定模型建立中的變量和參數，找出所要研究問題與某種數學結構的對應關系，使這個實際問題轉化為一個數學問題;第三，解析或近似地求解該數學問題，形成對問題的認識、判斷和預測.如果數學結果能解釋甚至預測實際問題中出現的現象，那么就可以付之試用;否則，就要重復建模過程.

由數學建模過程的分析可知，數學是科學探索的重要部分，數學建模抓住了數學依靠的兩樣東西:邏輯與創造，啟動了數學思維的總鑰匙.事實上，建立一個較好的數學模型，本身是一種科學探索的嘗試，是一種創新實踐，是一種智力的挑戰.

首先，數學建模以強烈的問題意識為引領.問題意識在思維和學習活動中起著重要作用，具有激發、維持的功能.“疑是思之始，學之端”、“為學患無疑，疑則有進，小疑則小進，大疑則大進”等等，強調創新源于問題，倡導學習個體的懷疑、批判精神，這比解答問題更為重要.數學建模的問題，無一不是生產或生活中需要解決的問題，它的豐富的實際應用背景潛藏著學生的好奇心，為學生提出問題提供了可能.如有這樣一道題，“許多人都有過提著行李，在擁擠的登機隊伍中慢慢等待登機的經歷.在日益緊張的生活節奏下，如何才能合理的組織乘客登機，以實現時間和效率的最優配置?”提高登機效率，按常理或者說一般的方法應是先坐后艙、再坐中艙、最后坐前艙.但是，如果沿著這一傳統思維去建模求解，而不對“常理”進行批判，就不會有“先坐窗邊，再坐中間，最后坐過道”的方案，也意味著無法找出旅客登機時間和效率的最優配置.

其次，數學建模以開放的數學思維為條件.問題開放促進思維開放，思維開放激活了那種被忽視了創造發明的要素，即那種起推導和推導作用的直觀要素:直觀和構作.數學建模的問題來自實際，往往具有一定的開放性，沒有預設的標準答案或答案不唯一，同一個問題從不同的角度去理解，會獲得不同的數學模型和求解方法.也就是說，如何把握“主要與次要”關系到假設的合理性;如何確定模型中的變量和參數，關系到所要研究問題與某種數學結構的對應關系.因此，解決問題光靠邏輯是不夠的，而要“面對復雜問題發揮學生的創新精神和創造力、想象力、洞察力以及解決問題的邏輯推理和量化分析能力”[8].

最后，數學建模以扎實的數學知識、過硬的數學能力為基礎.要建立數學模型，沒有較全面的數學基礎知識是不行的.對理工科大學生來說，微積分、線性代數和概率統計知識是最基本的數學知識，最優化、組合數學、微分方程和差分方程、圖論、插值與擬合等知識也是必不可少的.比如洗衣機節水問題，怎樣洗衣才節水，若缺乏一定的數學基礎知識，學生在建立數學模型時將不知從何下手.另外，數學建模對學生能力的要求是全面的，具體地包括查閱文獻資料、分析綜合、抽象概括、語言翻譯以及熟練運用數學工具和計算機的能力.

總的說來，數學建模是培養學生的綜合素質的有效途徑.因為，數學建模是一種文化，以文化的力量讓學生學到深處——切身體驗到數學和現實的完美結合;數學建模是一種實踐，以實踐的力量讓學生用到實處——切身體驗到學有所成、學有所用;數學建模是一種創造，以創造的力量讓學生悟到透處——切身體驗到數學的基本要素，即邏輯和直觀、分析和構作、一般性和個別性的強大合力.

[1]周遠清，姜啟源.數學建模競賽實現了什么[N].光明日報，2006－01－11.

[2]Naney Kopell.We get rhythm:Dynamieal sterns of the nervous system[J].Notices of the AMS，2000(47).

[3]詹姆斯·格林姆主編，鄧越凡譯.數學科學·技術·經濟競爭力[M].天津:南開大學出版社，1992.

[4]葉其孝.把數學建模、數學實驗的思想和方法融入高等數學課的教學中去[J].工程數學學報，2003(8).

[5]中國科學院自然科學史研究所數學史組編.數學史譯文集[M].上海科學技術出版社，1981

[6]李大潛.中國大學生數學建模競賽[M].4版.北京:高等教育出版社，2011.

[7][美]R·柯朗 H·羅賓著.什么是數學[M].上海:復旦大學出版社，2012.

[8]陳華友.重視數學建模提高學生綜合素質的作用[N].中國教育報，2008－10－23.