淺談數(shù)學(xué)方法及其在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用

劉繼圓

（武漢理工大學(xué)，湖北 武漢430070）

0 引言

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2011 年版有一個(gè)十分明顯的變化， 在課程目標(biāo)中明確提出“四基”，除了教師熟悉的“雙基”（基礎(chǔ)知識(shí)、基礎(chǔ)技能）外，還增加了“基本思想”、“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。 “基本思想”突出了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”突出了學(xué)生主體。

1 數(shù)學(xué)思想方法綜述

1.1 對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解

數(shù)學(xué)思想方法一詞無(wú)論是在數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教育范圍內(nèi)，還是在其他學(xué)科中，都已被廣為使用。 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)包括數(shù)學(xué)中的概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理等以及它們反映出來(lái)的數(shù)學(xué)思想方法。

1.1.1 對(duì)數(shù)學(xué)方法的理解[1]

方法是一個(gè)元概念，它和點(diǎn)、線、面、集合等概念一樣，不能邏輯地定義，只能概略地描述。數(shù)學(xué)方法具有以下三個(gè)基本特征：一是高度的抽象性和概括性；二是精確性，即嚴(yán)密的邏輯性以及結(jié)論的確定性；三是普遍的應(yīng)用性和可操作性。數(shù)學(xué)方法在科學(xué)技術(shù)研究中具有舉足輕重的地位和作用：一是，提供簡(jiǎn)潔精確的形式化語(yǔ)言；二是，提供定量分析及計(jì)算的方法；三是，提供邏輯推理的工具。

1.1.2 對(duì)數(shù)學(xué)思想的理解

人們常用數(shù)學(xué)思想來(lái)泛指某些有重大意義、內(nèi)容比較豐富、體系相當(dāng)完整的數(shù)學(xué)成果。一般地說(shuō)，數(shù)學(xué)思想是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本想法，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)。 數(shù)學(xué)思想是人們對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法進(jìn)一步抽象和概括，屬于對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)的范疇。 而數(shù)學(xué)方法則是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的手段，具有行為規(guī)則的意義和一定的可操作性。 相對(duì)數(shù)學(xué)方法而言，數(shù)學(xué)思想更具有普遍性與可創(chuàng)造性，其抽象程度更高一些，理論的味道更濃一些。 數(shù)學(xué)方法經(jīng)常表現(xiàn)為實(shí)現(xiàn)某種數(shù)學(xué)思想的手段，而對(duì)于方法的有意識(shí)選擇，往往體現(xiàn)出對(duì)于數(shù)學(xué)思想的理解深度。

1.2 中學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想方法

1.2.1 字母代表數(shù)思想

在數(shù)學(xué)中，由字母代表數(shù)，各種量與量之間進(jìn)行推理與演算，都是以符號(hào)形式來(lái)表示的，從而形成一整套形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。 符號(hào)是人類(lèi)思維與交流的工具，它能夠清晰而簡(jiǎn)明的表達(dá)數(shù)學(xué)思想和規(guī)律。

1.2.2 建立模型思想

所謂數(shù)學(xué)模型，指的是對(duì)現(xiàn)實(shí)原型為了某種目的而作抽象、簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。 它是使用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)式子及數(shù)量關(guān)系對(duì)原型作一種簡(jiǎn)化而本質(zhì)的刻畫(huà)，根據(jù)原型進(jìn)行具體構(gòu)造數(shù)學(xué)模型過(guò)程稱(chēng)為數(shù)學(xué)建模。 數(shù)學(xué)建模的活動(dòng)過(guò)程主要包括[2]：

（1）問(wèn)題分析：了解問(wèn)題的實(shí)際背景知識(shí)，掌握第一手資料。

（2）假設(shè)化簡(jiǎn)：根據(jù)問(wèn)題的特征和目的，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行化簡(jiǎn)，并用精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述。

（3）模型建立：在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具、數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)刻畫(huà)變量之間的數(shù)量關(guān)系，建立其相對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

（4）模型求解：對(duì)模型進(jìn)行求解。

（5）模型檢驗(yàn)：將模型結(jié)果與實(shí)際情形相比較，以此來(lái)驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性。

1.3 化歸思想

化歸思想的實(shí)質(zhì)是通過(guò)事物內(nèi)部的聯(lián)系和矛盾運(yùn)動(dòng)，在轉(zhuǎn)化中實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的規(guī)范化 （熟悉或易于處理）， 即將待處理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為規(guī)范問(wèn)題，從而得到原問(wèn)題的解答。 化歸思想包含三個(gè)要素：化歸的對(duì)象、化歸的目標(biāo)和化歸的方式、方法。在上述例子中，一元二次方程是化歸的對(duì)象，一元一次方程是化歸的目標(biāo)，換元是實(shí)施化歸的方法。實(shí)施化歸的關(guān)鍵是實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的規(guī)范化、模式化。

1.4 分解組合思想

當(dāng)面臨的數(shù)學(xué)問(wèn)題不能以統(tǒng)一的形式解決時(shí)，可把已知條件涉及的范圍分解為若干個(gè)子集， 在各個(gè)子集中分別研究問(wèn)題局部的解，然后通過(guò)組合各局部的解而得到原問(wèn)題的解，這種思想就是分解組合思想，其方法成為分類(lèi)討論法。分解組合是重要的數(shù)學(xué)思想之一。對(duì)于復(fù)雜的計(jì)算題、作圖題、論證題、等，運(yùn)用分解組合的思想方法去處理，可以幫助學(xué)生進(jìn)行全面嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎己头治觯瑥亩@得合理有效的解題途徑。

1.5 函數(shù)與方程思想

函數(shù)思想是指變量與變量之間的一種對(duì)應(yīng)思想，或者說(shuō)是一個(gè)集合到另一個(gè)集合的一種映射思想。它是數(shù)學(xué)從常量數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)入變量數(shù)學(xué)的樞紐，它能使數(shù)學(xué)有效地揭示事物運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律，反映事物間的相互聯(lián)系。 而方程思想則是函數(shù)思想的具體體現(xiàn)，是已知量和未知量的矛盾統(tǒng)一體，是變量與變量互相制約的條件。 它反映了已知量行業(yè)未知量之間的內(nèi)在聯(lián)系。 函數(shù)與方程是有效地表示、處理、交流、和傳遞信息的強(qiáng)有力工具，是探討事物發(fā)展規(guī)律，預(yù)測(cè)事物發(fā)展方向的重要手段。

2 數(shù)學(xué)思想方法在中學(xué)教學(xué)中應(yīng)用

典例一：定理教學(xué)——“梯形中位線定理”的教學(xué)[3]

導(dǎo)入

緊緊圍繞定理，從特殊、類(lèi)比、猜想開(kāi)始，提出研究的課題。

可演示拼圖硬紙片，EF 是梯形中位線， 聯(lián)結(jié)AF， 沿AF 剪下△ADF，將其與ABCF 拼在一起，得△ABG，回答:

（1）EF 與BG 有何關(guān)系?依據(jù)的定理是什么？

（2）猜想EF 與AD,BG 之間的關(guān)系。

2.1 討論

（1）在上面拼圖的啟示下，你打算怎樣畫(huà)輔助線，以便應(yīng)用三角形中位線定理來(lái)證明？ 看誰(shuí)構(gòu)造的有用三角形最多。

（2）誰(shuí)還有什么高招？ （如把梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形等，此時(shí)教師可根據(jù)實(shí)際情況稍作提示。 ）

（3）誰(shuí)來(lái)做評(píng)判，說(shuō)一說(shuō)自己的見(jiàn)解：以上兩種方法的共同點(diǎn)與不同點(diǎn)是什么？ 何法較優(yōu)？

2.2 證明（個(gè)體的獨(dú)立操作）、閱讀（閱讀書(shū)上的證明過(guò)程，學(xué)習(xí)其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臅?shū)寫(xiě)方式等）、練習(xí)

2.3 小結(jié)（可根據(jù)情況讓學(xué)生自己總結(jié)）

推正思想：轉(zhuǎn)化。

推證方法:構(gòu)造三角形或平行四邊形。

應(yīng)用：為計(jì)算線段的長(zhǎng)、梯形面積、直線a∥b 開(kāi)辟了新途徑。

不僅潛移默化地滲透基本數(shù)學(xué)思想方法，即劃歸轉(zhuǎn)化思想，而且很好的把握了新課程理念，激發(fā)了學(xué)生的探究熱情，擴(kuò)大了他們的思維方向，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生探求問(wèn)題的解法，讓他們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中自主地建構(gòu)新知識(shí)。

3 總結(jié)

數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法， 既要理解為數(shù)學(xué)中深層次的基礎(chǔ)知識(shí)，又要理解為解決問(wèn)題時(shí)的思維策略。 而在數(shù)學(xué)學(xué)科中，這種策略性知識(shí)與事實(shí)性知識(shí)的結(jié)合是非常緊密的，是相互滲透、相互融洽的，只要教師在教學(xué)中有意識(shí)地滲透、傳授，學(xué)生就可以通過(guò)課堂教學(xué)獲得大量的關(guān)于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般和特殊的策略性知識(shí)。 在教學(xué)中挖掘與滲透數(shù)學(xué)思想，是使傳統(tǒng)的知識(shí)型教學(xué)向能力型培養(yǎng)轉(zhuǎn)化，造就開(kāi)拓型、創(chuàng)造型人才的有力工具和重要手段。

［1］孔企平，張維忠，黃榮金.數(shù)學(xué)新課程與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)[M].高等教育出版社,2007.

［2］張奠宙，宋乃慶.數(shù)學(xué)教育概論[M].高等教育出版社，2005.

［3］章士藻.中學(xué)數(shù)學(xué)教育學(xué)[M].高等教育出版社，2007.