有趣的離散數(shù)學(xué)

王新心

（東北大學(xué)秦皇島分校數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河北 秦皇島066004）

離散數(shù)學(xué)課程與傳統(tǒng)的大學(xué)數(shù)學(xué)課程（如高等數(shù)學(xué)）有很大的區(qū)別，高等數(shù)學(xué)研究的一般是自變量在區(qū)間上連續(xù)變化的函數(shù)，而離散數(shù)學(xué)是研究離散變量及其相互關(guān)系的學(xué)科，如自然數(shù)、真假值等等。這門課程是隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展而產(chǎn)生的 （機(jī)器語言只有0、1兩個(gè)離散值），因此開設(shè)這門課程的專業(yè)都是與計(jì)算機(jī)關(guān)系密切的專業(yè)，如信息與計(jì)算科學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)、信息管理、電子商務(wù)、物聯(lián)網(wǎng)等。

眾所周知，高等數(shù)學(xué)有大家公認(rèn)的經(jīng)典和傳統(tǒng)的教材，即使版本不同，內(nèi)容也大同小異，而離散數(shù)學(xué)一般是學(xué)校根據(jù)自己專業(yè)的培養(yǎng)目標(biāo)和方向自行定制教材，內(nèi)容的側(cè)重點(diǎn)也不盡相同，但無論哪一種教材，都會(huì)包括四部分內(nèi)容：數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)系統(tǒng)和圖論，這其實(shí)是數(shù)學(xué)專業(yè)需要分開學(xué)習(xí)的四門課程，相對(duì)比較枯燥，離散數(shù)學(xué)教材將這些放在一起，每一部分都介紹了與計(jì)算機(jī)技術(shù)相關(guān)的內(nèi)容，不像數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)的深入，但涉及的面很廣，對(duì)學(xué)生而言非常困難。和高等數(shù)學(xué)比較，由于學(xué)生從中學(xué)開始就接觸函數(shù)，因此高等數(shù)學(xué)課程的入門相對(duì)容易，課程前后的內(nèi)容聯(lián)系緊密，開始學(xué)習(xí)時(shí)學(xué)生感覺不會(huì)太困難。但離散數(shù)學(xué)不同，學(xué)生以前基本沒有接觸過相關(guān)的知識(shí)，并且內(nèi)容前后之間又沒有必然的聯(lián)系（充分體現(xiàn)了離散性），學(xué)習(xí)后面的經(jīng)常忘記前面的，這就給學(xué)生的學(xué)習(xí)制造了很多的麻煩，他們普遍認(rèn)為離散數(shù)學(xué)不好學(xué)，甚至有個(gè)別學(xué)生最后只能放棄。俗話說，興趣是最好的老師，鑒于以上這些原因，本文根據(jù)這四部分內(nèi)容，談?wù)勅绾卧谡n堂教學(xué)中提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

1 數(shù)理邏輯之趣

邏輯學(xué)簡單地講，就是研究推理的學(xué)科，數(shù)理邏輯也不例外，它是運(yùn)用一套符號(hào)體系加上一些規(guī)則，研究我們生活中的一切與推理有關(guān)的問題，這不就讓課堂生動(dòng)起來了嗎？比如生活中有這樣的敘述：“情況并非如此，如果他不來，那么我也不去。”這句話如果說給外國人聽，他們一定會(huì)覺得云山霧罩的，即便是中國人自己，能夠理解清楚也不是很容易吧，到底是他來或不來，我去還是不去呢？現(xiàn)在我們用數(shù)理邏輯的理論去研究，看看到底說的什么意思？設(shè)P表示“他來”，Q表示“我去”，這句話翻譯成邏輯語言是：┐（┐P→┐Q），利用推理規(guī)則得到與之等價(jià)的命題┐P∧Q，再將其還原回生活語言就是“他沒來，但我去了”，如此之簡單，學(xué)生恍然大悟，馬上會(huì)興趣倍增的。再有，課堂上如果讓學(xué)生分析下面這段程序，結(jié)果會(huì)怎樣呢？“If A then if B then X else Y else if B then X else Y”，就是對(duì)計(jì)算機(jī)專業(yè)的學(xué)生而言，理解程序的條件和結(jié)論也不容易吧，但程序肯定是正確的，計(jì)算機(jī)也是可以執(zhí)行的，現(xiàn)在讓我們用數(shù)理邏輯理論化簡一下吧。執(zhí)行X的條件：（A∧B）∨（┐A∧B），化簡后等價(jià)于 B；執(zhí)行 Y 的條件：（A∧┐B）∨（┐A∧┐B），化簡后等價(jià)于┐B，結(jié)果出乎人們的意料，A在程序中根本沒起作用，純屬搗亂而已，此程序?qū)嶋H可以簡化為：“If B then X else Y”。如此好玩的問題，與日常生活和學(xué)生的專業(yè)又有密切的聯(lián)系，我們可以想象一下，學(xué)生學(xué)習(xí)起來會(huì)多么高興，又怎么會(huì)在課堂上睡覺呢？

2 集合關(guān)系之趣

在生活中，存在著各式各樣的關(guān)系，如父子關(guān)系、夫妻關(guān)系、朋友關(guān)系、上下級(jí)關(guān)系等等，這些關(guān)系看起來各不相同，但很多關(guān)系卻可以用數(shù)學(xué)思想抽象出它們共同的性質(zhì)。離散數(shù)學(xué)集合論部分涉及到的就是研究各種各樣的關(guān)系，如等價(jià)關(guān)系、序關(guān)系等等，研究這些關(guān)系，也是非常有趣的事情。比如利用“同姓”關(guān)系，可以將人群分類：{張}、{王}、{李}、{歐陽}、{諸葛}……等等，如果要研究同一姓氏的人有什么共同特征時(shí)，可以分別從不同的姓氏集合中，任取一個(gè)人進(jìn)行研究，這個(gè)人可以作為每一類姓氏人群的代表，他有的特征和他同類的人都有；再比如平常說的“家族”關(guān)系，可以理解為集合中的復(fù)合關(guān)系，如果R 是“父子”關(guān)系，S是“兄弟”關(guān)系，那么 R○R 表示“祖孫”關(guān)系、S○R表示“伯侄”關(guān)系等等，只要將條件設(shè)計(jì)好，紅樓夢中的林黛玉和王熙鳳之間的關(guān)系也可以用數(shù)學(xué)語言表示出來。事實(shí)上，生活中的所有關(guān)系都是可以用數(shù)學(xué)符號(hào)描繪出來的，這方面可以引導(dǎo)學(xué)生自己去探索，以便提高他們的學(xué)習(xí)興趣。

3 代數(shù)系統(tǒng)之趣

代數(shù)系統(tǒng)是離散數(shù)學(xué)中最抽象的一部分，它在數(shù)學(xué)學(xué)科中屬于抽象代數(shù)的內(nèi)容，怎樣用生活中有趣的例子解釋、描述抽象的概念，是課堂教學(xué)需要認(rèn)真研究的問題之一。事實(shí)上，在集合中定義運(yùn)算，是構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)的關(guān)鍵，而運(yùn)算就是函數(shù)，比如一臺(tái)自動(dòng)售貨機(jī)，它接受人民幣，吐出各種商品，“兩個(gè)一元對(duì)應(yīng)一瓶橙汁，一個(gè)一元和一個(gè)二元對(duì)應(yīng)一瓶可樂，兩個(gè)二元對(duì)應(yīng)一個(gè)冰淇淋”等等，這就是運(yùn)算，如果再對(duì)運(yùn)算要求具有封閉性，就構(gòu)成了代數(shù)系統(tǒng)。再如定義代數(shù)系統(tǒng)的幺元和零元時(shí)，可以用“洗衣”的例子說明，用洗衣機(jī)洗衣服時(shí)，淺色和淺色混洗后，衣服還是淺色；淺色和深色混洗后，衣服變成了深色；深色和深色混洗后，衣服還是深色，可以令S={淺色，深色}，“*”代表“洗衣”這種運(yùn)算，那么對(duì)于代數(shù)系統(tǒng)＜S，*＞而言，“淺色”是系統(tǒng)的幺元；、“深色”是系統(tǒng)的零元，讓學(xué)生想象淺色和深色的特征，就可以充分理解幺元和零元的概念了。還有，群的概念在代數(shù)系統(tǒng)中非常典型和重要，不了解群就等于沒有學(xué)過代數(shù)系統(tǒng)，那么群到底有什么，換句話說，我們熟悉的什么樣的事物可以是群呢？從群的概念考慮，群中對(duì)所定義的運(yùn)算要有幺元，每一個(gè)元素還要有逆元，假設(shè)定義的運(yùn)算是“加法”，幺元一定是0，那么每個(gè)元素的逆元應(yīng)該是其相反數(shù)，也就是說，它的相反數(shù)也必須是集合中的元素，故集合必須是關(guān)于0對(duì)稱的 （對(duì)加法運(yùn)算），由此得到，整數(shù)集合上定義加法運(yùn)算構(gòu)成群；實(shí)數(shù)集合上定義加法運(yùn)算也構(gòu)成群；但非負(fù)有理數(shù)上定義加法運(yùn)算就不會(huì)構(gòu)成群了，一句話，構(gòu)成群的集合一定是對(duì)稱的（關(guān)于運(yùn)算），這時(shí)可以提問：如果換成乘法運(yùn)算，什么樣的集合對(duì)乘法運(yùn)算構(gòu)成群呢？這樣的分析一環(huán)扣一環(huán)，讓學(xué)生跟著教師的思路去思考，既有趣又有成就感，而且又將概念講解的非常到位，學(xué)生怎么會(huì)不喜歡這樣的課堂呢？

4 圖論之趣

位于波羅的海海岸的美麗小城——格尼斯堡，在圖論的起源和發(fā)展中占有絕對(duì)重要的地位，由著名的“格尼斯堡七橋”問題，數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立了一個(gè)重要的數(shù)學(xué)分支——圖論。“格尼斯堡七橋”問題實(shí)際是一個(gè)“一筆畫”問題，應(yīng)用歐拉的理論，對(duì)任何一個(gè)圖形，都可以很快知道它是否可以一筆畫出，這是一件多么了不起的工作啊！圖論幫我們解決了很多現(xiàn)實(shí)問題，如環(huán)游世界問題、匹配問題、最優(yōu)化問題等等，尤其是“樹”的概念的引進(jìn)，在日常生活和計(jì)算機(jī)理論中，應(yīng)用相當(dāng)?shù)膹V泛。比如百姓的“家譜”就是一棵“根樹”，樹根是“祖宗”，平行邊是“兄弟”，上下相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)分別表示“父親”和“兒子”，看到一顆“家譜樹”，馬上就清楚了誰是誰的“祖先”，誰又是誰的“后裔”，一目了然。再如 “購買接線板的問題”，寢室有28盞電燈，要共用一個(gè)電源插座，需要購買多少個(gè)具有四孔的接線板？這是圖論中“完全四叉樹求分支點(diǎn)”的問題，讓學(xué)生帶著問題去思考，自己解決，既生動(dòng)又實(shí)用，何樂而不為呢？

興趣是最好的老師，不論一門課程多么抽象、復(fù)雜，首先要求教師深刻地理解課程內(nèi)容，要用通俗易懂的語言講授給學(xué)生，同時(shí)要調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，讓學(xué)生有“我要學(xué)”的沖動(dòng)，那么這門課就一定可以學(xué)好。

［1］左孝凌,等.離散數(shù)學(xué)[M].上海：上海科技文獻(xiàn)出版社,1982.

［2］王新心.王翠榮,主編.離散數(shù)學(xué)[M].沈陽：東北大學(xué)出版社,2011.