淺析動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的求解方法

趙麗霞

（安徽理工大學(xué)理學(xué)院力學(xué)系，安徽 淮南 232001）

動(dòng)力學(xué)是研究物體運(yùn)動(dòng)與力之間關(guān)系的學(xué)科，生活日益發(fā)展的今天，動(dòng)力學(xué)已經(jīng)涉及到各個(gè)領(lǐng)域，生產(chǎn)方面：石油的開(kāi)采、汽車的研發(fā)、航空航海、機(jī)械的研發(fā)等。生活方面：足球動(dòng)力學(xué)、排球動(dòng)力學(xué)、高爾夫動(dòng)力學(xué)等。因此，隨著動(dòng)力學(xué)的廣泛應(yīng)用，研究該問(wèn)題的求解方法不僅有著重要的理論意義，而且具有重要的工程實(shí)踐意義。在經(jīng)典力學(xué)的發(fā)展中，對(duì)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的研究主要有兩個(gè)角度：牛頓力學(xué)和分析力學(xué)。

1 牛頓力學(xué)

牛頓力學(xué)大量運(yùn)用幾何方法和矢量作為研究工具，因此它又被稱為矢量力學(xué)。其求解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)主要依據(jù)的就是我們比較熟悉的動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理、動(dòng)能定理三大動(dòng)力學(xué)普遍定理。

1.1 主要內(nèi)容

（1）動(dòng)量定理

在某一時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的改變量等于在這段時(shí)間內(nèi)作用于質(zhì)點(diǎn)系外力沖量的矢量和。即

（2）動(dòng)量矩定理

質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)于同一點(diǎn)的矩的矢量和。即

（3）動(dòng)能定理

質(zhì)點(diǎn)系在某一運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，起點(diǎn)和終點(diǎn)的動(dòng)能的改變量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的全部力在這一過(guò)程中所作的功之和。即

1.2 動(dòng)力學(xué)三大定理的對(duì)比分析

（1）動(dòng)量定理反應(yīng)力對(duì)時(shí)間的累積效應(yīng)，而動(dòng)能定理反應(yīng)力對(duì)路程的累積效應(yīng)。

（2）動(dòng)量和動(dòng)能定理無(wú)需對(duì)過(guò)程是怎樣變化的細(xì)節(jié)深入的研究，而更關(guān)心的是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化即改變結(jié)果量及其引起變化的原因。對(duì)任何過(guò)程的恒力、變力；勻變速、非勻變速；直線運(yùn)動(dòng)、曲線運(yùn)動(dòng)；時(shí)間長(zhǎng)、瞬間過(guò)程；單、多過(guò)程都能運(yùn)用。但動(dòng)量矩定理只適用于瞬時(shí)狀態(tài)。

（3）動(dòng)量和動(dòng)量矩定理表達(dá)式均是矢量形式，且內(nèi)力不參與計(jì)算；動(dòng)能定理表達(dá)式為標(biāo)量形式，并且若系統(tǒng)內(nèi)力做功，方程中也必須包含該內(nèi)力。

1.3 使用動(dòng)力學(xué)三大定理解題的優(yōu)先順序

（1）在涉及力、位移時(shí)優(yōu)先考慮能量途徑。

（2）在涉及力、時(shí)間時(shí)優(yōu)先考慮動(dòng)量途徑。

（3）若研究對(duì)象做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)或平面運(yùn)動(dòng)，則一般先考慮動(dòng)量矩定理。

2 分析力學(xué)

分析力學(xué)是理論力學(xué)的一個(gè)分支，它通過(guò)用廣義坐標(biāo)為描述質(zhì)點(diǎn)系的變數(shù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的方法，研究宏觀現(xiàn)象中的力學(xué)問(wèn)題，是對(duì)經(jīng)典力學(xué)的高度數(shù)學(xué)化的表達(dá)。分析力學(xué)是獨(dú)立于牛頓力學(xué)的描述力學(xué)世界的體系。分析力學(xué)的基本原理同牛頓運(yùn)動(dòng)三定律之間可以互相推出。分析力學(xué)又分為拉格朗日力學(xué)或哈密頓力學(xué)。前者以拉格朗日量刻劃力學(xué)系統(tǒng)，運(yùn)動(dòng)方程稱為拉格朗日方程，后者以哈密頓量刻劃力學(xué)系統(tǒng)，運(yùn)動(dòng)方程為哈密頓正則方程。

2.1 主要內(nèi)容

（1）動(dòng)力學(xué)普遍方程

在理想約束情況下，任一瞬時(shí)，作用于質(zhì)點(diǎn)系上的主動(dòng)力和慣性力在質(zhì)點(diǎn)系的任意虛位移上所作虛功之和等于零。即

（2）拉格朗日方程

其中T為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能；L為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)勢(shì)L=T-V；qk為廣義坐標(biāo)；q·k為廣義速度。

（3）哈密頓正則方程

2.2 三種方程的對(duì)比分析

（1）在動(dòng)力學(xué)普遍方程中不會(huì)出現(xiàn)約束反力，它提供了具有任意多自由度系統(tǒng)的全部運(yùn)動(dòng)方程，但是由于約束的存在，求解時(shí)需找出虛位移之間的關(guān)系，有時(shí)很不方便。

（2）拉格朗日方程采用廣義坐標(biāo)建立，它提供了與廣義坐標(biāo)數(shù)目相同的一組獨(dú)立微分方程，對(duì)于解決復(fù)雜質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題是比較簡(jiǎn)便和有效的。

（3）哈密頓正則方程與拉格朗日方程是等價(jià)的，將廣義動(dòng)量引入到方程中，方程數(shù)目比拉格朗日方程數(shù)目更多，但是它的形式是簡(jiǎn)單而對(duì)稱的，而且微分方程階數(shù)低，更易于求解。

3 牛頓力學(xué)與分析力學(xué)的對(duì)比分析

（1）牛頓力學(xué)以牛頓定律為理論基礎(chǔ)，分析力學(xué)的基本原理主要是虛功原理和達(dá)朗伯原理，而前者是分析靜力學(xué)的基礎(chǔ)；前后兩者結(jié)合，便可得到動(dòng)力學(xué)普遍方程，從而導(dǎo)出分析力學(xué)各種系統(tǒng)的動(dòng)力方程。

（2）牛頓力學(xué)主要采用幾何法求解問(wèn)題，而分析力學(xué)主要是運(yùn)用分析的方法。

（3）在研究觀點(diǎn)上牛頓力學(xué)側(cè)重力，分析力學(xué)則是側(cè)重更廣泛意義的能量，所以它具有高度的統(tǒng)一性和普遍性。

（4）分析力學(xué)引入了廣義坐標(biāo)、廣義力、廣義動(dòng)量等，使分析力學(xué)的方法與結(jié)論所適用的范圍可以超出力學(xué)的領(lǐng)域。它廣泛用于結(jié)構(gòu)分析、機(jī)器動(dòng)力學(xué)與振動(dòng)、航天力學(xué)、多剛體系統(tǒng)和機(jī)器人動(dòng)力學(xué)以及各種工程技術(shù)領(lǐng)域，也可推廣應(yīng)用于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)和相對(duì)論力學(xué)。

（5）牛頓力學(xué)與分析力學(xué)的研究對(duì)象都可以是質(zhì)點(diǎn)系，質(zhì)點(diǎn)系可視為一切宏觀物體組成的力學(xué)系統(tǒng)的理想模型。例如剛體、彈性體、流體等以及它們的綜合體都可看作質(zhì)點(diǎn)系，質(zhì)點(diǎn)數(shù)可由1到無(wú)窮。但在牛頓力學(xué)中的質(zhì)點(diǎn)系主要是剛體，而分析力學(xué)中的質(zhì)點(diǎn)系可以推廣到彈性體、流體等以及它們的綜合體。

（6）對(duì)于自由質(zhì)點(diǎn)或比較簡(jiǎn)單的質(zhì)點(diǎn)系，牛頓力學(xué)與分析力學(xué)兩種方法無(wú)優(yōu)劣之分，有時(shí)后者反而顯得麻煩一些，但是分析力學(xué)對(duì)于具有約束的復(fù)雜質(zhì)點(diǎn)系的求解更為優(yōu)越，因?yàn)橛辛思s束方程，系統(tǒng)的自由度就可減少，運(yùn)動(dòng)微分方程組的階數(shù)隨之降低，更易于求解。

4 結(jié)論

通過(guò)前面的分析，我們知道動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的求解方法比較多，在工程實(shí)際中，應(yīng)根據(jù)具體問(wèn)題類型選擇最佳的求解方法，這就需要我們熟悉各種求解方法的適用范圍及優(yōu)缺點(diǎn)。同時(shí)，通過(guò)牛頓力學(xué)與分析力學(xué)的對(duì)比，從對(duì)運(yùn)動(dòng)方程建立的方法的研究，可以看出分析力學(xué)具有更高的統(tǒng)一性和普遍性，它的適用范圍可以超出力學(xué)領(lǐng)域向其它學(xué)科延伸。

［1］王振發(fā).分析力學(xué)[M].科學(xué)出版社.

［2］郭志榮,王晨,等.理論力學(xué)中的牛頓力學(xué)與分析力學(xué)方法之淺析[J].廊坊師范學(xué)院學(xué)報(bào),2009(02).

［3］哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室.理論力學(xué)[M].高等教育出版社.