偽譜法在最優控制問題中的應用淺析

王璐

(牡丹江大學機械工程學院,黑龍江牡丹江 157000)

偽譜法在最優控制問題中的應用淺析

王璐

(牡丹江大學機械工程學院,黑龍江牡丹江 157000)

本文介紹了偽譜法在最優控制問題中應用。該方法是基于正交多項式的偽譜方法,在選取恰當的配置點后,將連續系統轉化為離散系統,然后利用非線性規劃理論進行求解,轉化的關鍵是如何選取配置點以及如何構造微分方程。

偽譜法 最優控制問題

最優控制問題可以追溯到17世紀，當時約翰伯努利提出了著名的最速降線問題。他向同年代的人提出了這樣一個問題，即一個垂直面上兩點間的一個物體僅在重力的作用下沿何種路徑下落可以使得下降的時間最短。之后，多位著名數學家，包括戈特弗里德威廉萊布尼茲，馬奎斯，埃塞克牛頓，約翰伯努利，雅各布伯努利等都對最速降線問題提出了解決方案。這些方案建立了最優控制理論的雛形。

經歷了三百多年的研究探索，最優控制領域已經取得了諸多的研究成果。包括：1733年由歐拉首次提出的的變分法，后來該方法以歐拉的名字命名。以及1950年，查理得貝爾曼率先在動力學工程發現的由哈密爾頓-雅克比-貝爾曼方程式導出的最優控制問題必要條件。1962年列弗龐特里亞金提出的針對“ bang-bang”控制問題限制條件閉集約束提出的極大值原理。而隨著 20世紀 50年代計算機的發展，最優控制問題的解決方法逐漸轉向了數值求解。目前，這類問題正吸引著越來越多的科研工作者的重視，現在以及未來若干年內都將是熱點研究問題之一。

現今解決最優控制問題的數值解法在逼近方法和復雜性上有著很大的不同，這些方法將連續時間問題離散化為某代數形式并用所得結果利用有限維逼近獲得結果。解決最優控制問題的數值方法主要有以下兩種形式，直接法和間接法。間接法主要是針對由變分法、龐特里亞金極大值原理獲得的最優控制問題一階必要條件進行探究。該法將必要條件轉化為一個哈密爾頓邊值問題( HBVP)，然后獲得最優軌跡的數值解。并發現該最優解就是通過選擇使性能指標最低的極值軌跡。而間接法最大的優點就是獲得的解具有很高的精確性并且滿足最優控制問題一階必要條件。然而，間接法也有以下幾個缺點。首先， HBVP問題的解必須是解析的。其次，間接法是典型的小半徑收斂，恰當的初值選擇對于問題的解決非常重要。同時，間接法需要一個準確的對于協態變量的猜測，而協態變量往往沒有實際意義，所以難以選取。最后，對于路徑約束問題，得知限制或非限制路徑或可變換結構的先驗知識也是必要的。 BNDSCO是一種解決乘子邊值問題的間接多重打靶法。在直接法中，這個連續時間最優控制問題被離散轉化成了一個有約束條件的非線性規劃問題( NLP)。這個 NLP問題可以由 KKT( Karush-Kuhn-Tucker )條件來獲得解。直接法的優點是不用最優控制問題的一階必要條件，較間接法相比具有較大的收斂半徑，不需要很準確的初值猜測，不需要對協態變量的猜測。重要的是變換結構不需要預先知道。故而，有較多的應用，但缺點是無法獲得協態變量的信息，從而無法檢驗NLP問題的解是否真的與原問題是等價的。直接法的種類是非常多的，并且包含了很多不同的方法技術。兩種常見的離散方法是將最優軌線，路徑約束等控制約束參數化。在控制約束參數化方法中，將只把控制方程參數化，用數值積分來近似性能指標，比如有打靶法和多重打靶法。在控制約束和最優軌線參數化法中，將連續時間的控制問題離散化，將性能最優控制問題的數值解一直是控制界的難點之一。按照經典的最大值原理，最優控制問題的求解將導致一組微分方程的兩點編制問題的計算。而對于大規模的系統而言，數值計算如何保證所求000000000000000000解的結果準確變得尤為重要，更麻煩的是，如果最優控制問題存在不等式約束條件，那么數值計算變得更為困難。按照經典的最大值原理，最優控制問題的求解將導致一組微分方程的兩點邊值問題的計算。而對于大規模的系統而言，數值計算如何保證所求解的準確性變得尤為重要，更麻煩的是，如果最優控制問題存在不等式約束條件，那么數值計算將更為困難。對于最優控制問題的數值解，許多年來許多學者研究如何利用近似方法來求解，產生了控制向量參數化法 Chebyshev多項式正交近似法等。

由于控制問題在工程中有著廣泛的應用，國內外有許多的學術機構投身于相應的研究中。 Harpold最早為美國的航天飛機再入提供方案，在滿足再入走廊的前提下，建立阻力加速度相對于速度的標稱軌跡，通過對待飛航程的預測和優化實現最優再入軌跡。基于Harpold思想， Axel等人做出改進，建立阻力加速度相對于能量的標稱軌跡。我國的陳士櫓院士及其他一些學者，都曾求解過以最小加熱量為最優性能指標的再入軌跡。 Shen提出更為實用的機載實時計算再入軌跡的方法。 Betts和Tang等學者利用直接法分別求解了有約束條件下的軌跡優化問題和星際轉移軌道優化問題。

偽譜方法在最優控制問題上的最早應用是1980年。1998年，美國海軍研究生院的學者 Fahroo和Qi等人對由 Vlassenbroeck和Elnagar引入最優控制求解領域的偽譜方法( PseudoSpectral Method)進行了大量的研究和完善。研究表明，偽譜方法對于求解最優控制問題具有良好的收斂性和較低的初值敏感度。隨著應用領域的一系列成功和多種新型偽譜方法的提出。偽譜方法成為最優控制數值求解領域最為活躍的分支。近年來許多學者有對該方法進行研究，例如，勒讓德( Legendre)偽譜法等。而目前較為通用的是 Gauss偽譜法， Gauss偽譜法是偽譜法的一種變化形式，是求解非線性優化控制的一種新方法，首先由 Elnagar等引入，并由 Ross等構造完成以求解優化控制問題。 Benson從理論上證明了高斯偽譜法的 KKT條件準確等于最優一階必要條件的離散形式，因而保證了所求解與間接法所求解的一致，NLP問題應用 KKT乘子向量得到的協態變量是準確的，并且狀態變量和控制變量的誤差隨著離散點的增多而迅速減小。高斯偽譜法( Gauss Pseudo spectral Method)是一種正交計算方法，它的配置點是勒讓德-高斯( Legendre-Gauss，簡稱LG)點，這種方法將狀態演化和控制規律通過用多項式參數化，微分方程用正交多項式近似。高斯偽譜法是一種基于譜方法的算法，它比其他方法具有更快的收斂速率，他最初使用 Chebyshev多項式，高斯偽譜法與其它偽譜法不同之處在于動態約束不在邊界點配置。

課題名稱：高職高專創新型人才培養質量評估體系研究，課題類別：黑龍江省職業教育學會“十二五”規劃課題，課題編號：GG0470。