壓力傳感器最小二乘直線不確定度評定及應用

李群，李鑫武，張賢

(中航工業(yè)北京長城計量測試技術研究所，北京100095)

0 引言

壓力傳感器作為現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)較為常用的壓力測量儀器，大量應用于國防軍工及各種工業(yè)自控環(huán)境。在壓力傳感器的使用過程中，主要參考工作直線方程來進行壓力測量，該直線最接近傳感器的實際工作曲線。能否通過工作直線及當前壓力值準確地估算壓力傳感器的輸出值(即工作直線的預測是否準確)，直接關系到測量結果的準確度，因此需要評定工作直線的不確定度。本文結合試驗數(shù)據(jù)，對壓力傳感器最小二乘直線不確定度進行分析。

1 不確定度分析

1.1 數(shù)學模型

最小二乘直線是利用最小二乘法、以殘差平方和最小(即傳感器特性曲線與擬合直線相應點之差的平方和最小)為原則來確定的。對被測傳感器取m 個測量點，進行n 個循環(huán)測量，則每個測量點有2n 個數(shù)據(jù)，設定2n 個數(shù)據(jù)的平均值為y，根據(jù)m 組數(shù)據(jù)(pi，yi)可擬合出壓力傳感器的最小二乘直線方程:y=a +bp。根據(jù)殘差平方和∑(yi-(a + bpi))2最小原則，得出截距a 和斜率b 的計算公式如下［1］。

式中:m 為測量點的個數(shù);n 為循環(huán)次數(shù);pi為標準壓力值;yi為壓力傳感器在某一測量點2n 個輸出值的平均值;為m 個壓力點的平均值;為m 個測量點輸出值的平均值。

1.2 不確定度分量評定

當壓力傳感器對測試系統(tǒng)內(nèi)壓力進行測量時，假設系統(tǒng)內(nèi)壓力在該測量點保持固定值p，由p 引入的不確定度可忽略不計，因此可認為:采用最小二乘直線預測壓力傳感器輸出信號值的不確定度由截距a 和斜率b 引入的兩不確定度分量合成。

截距a 引入的不確定度分量為

斜率b 引入的不確定度分量為

公式(3)，(4)中的s 為殘余標準差，計算方法為

式中:ypi為在壓力點pi處，利用最小二乘直線計算出的傳感器的輸出值。

殘余標準差s 可用于評價測量過程中所有隨機因素對被測輸出值y 的單次觀測的平均差的大小，殘余標準差越小，回歸效果越好，最小二乘直線的準確度越好。［2］因此，u(a)，u(b)的計算與殘余標準差有關。

另外u(a)，u(b)兩個分量的相關系數(shù)ρab計算公式為

1.3 合成標準不確定度評定

根據(jù)不確定度傳播定律，合成標準不確定度可表示為

式中:p 為具體的壓力測量值，由于公式中其他參數(shù)的值在確定最小二乘直線后便可求出，因此，在后續(xù)使用中，最小二乘直線預測傳感器輸出值的合成標準不確定度只與p 值有關。所以在用最小二乘直線表示壓力傳感器工作直線方程時，建議同時給出u(a)，u(b)，ρab的值，以方便用戶在后續(xù)使用過程中，對具體壓力點進行不確定度計算。

最后，取k=2，擴展不確定度為U=2uc(y)。

2 實例應用與分析

選定一支測量范圍為0 ～2 psi(1 psi=6.8948 kPa)，信號輸出范圍為2.5 ～5 V，允許基本誤差為±0.1%FS 的壓力傳感器作為被測對象，用一臺測量范圍為0 ～14 kPa，準確度等級0.01 級的自動標準壓力發(fā)生器對壓力傳感器進行校準，供電電源和數(shù)字多用表等配套設備的技術指標均滿足壓力傳感器檢定規(guī)程的要求。測量結果及本次測量結果平均值的不確定度如表1所示。

表1 壓力傳感器測量數(shù)據(jù)

根據(jù)公式(1)，(2)得出a=2.486373 V，b=1.248238 V/psi，因此，壓力傳感器工作直線方程可表示為y=2.486373 +1.248238p。

通過公式(5)得出殘余標準差s=0.00044 V;由公式(3)，(4)，(6)得出截距a 引入的不確定度分量u(a)=0.00032 V;斜率b 引入的不確定度分量u(b)=0.00027 V/psi;相關系數(shù)ρab=1.0000。

通過這些參數(shù)即可求出壓力傳感器在某一壓力點的輸出值及其不確定度。以壓力測量值1.6 psi 為例，采用最小二乘直線計算該點輸出值為

y1.6=2.486373 +1.248238×1.6=4.4836(V)

由公式(7)可得出該值的合成標準不確定度為

擴展不確定度U=2uc(y)=0.0015 V(k=2)

壓力傳感器在1.6 psi 壓力點的測量結果可表示為(4.4836±0.0015)V(k=2)。各測量點預測值不確定度如表2所示。

表2 各壓力點預測值及其不確定度

表1 所列出的本次測量結果平均值的擴展不確定度是上級計量機構在對壓力傳感器進行計量后，綜合考慮重復性、分辨力、顯示儀表、標準器、高度差等引入的不確定度分量求出的［3］，此不確定度只包含了本次測量過程中的各個不確定度分量，只針對本次測量結果或測量結果平均值有效，沒有考慮后續(xù)使用時各不確定度因素。表2 給出的預測值的擴展不確定度是以最小二乘直線為基礎求出的，最小二乘直線是根據(jù)殘差平方和最小原則求得的，最接近于壓力傳感器實際工作曲線，求其預測值的不確定度對于壓力傳感器的后續(xù)使用更有參考意義。

3 結束語

本文通過壓力傳感器最小二乘直線方程，對其預測值的不確定度進行了評定，并通過具體實例進行說明。建議相關實驗室在用最小二乘直線表示壓力傳感器工作直線方程時，同時給出u(a)，u(b)，ρ(a，b)的值，以方便用戶在后續(xù)使用時，對具體壓力點進行預測值的不確定度計算。

［1］國家技術監(jiān)督局.JJG 860-1994 壓力傳感器(靜態(tài))檢定規(guī)程［S］.北京:中國計量出版社，1994.

［2］國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗檢疫總局.JJF 1059.1-2012 測量不確定度評定與表示［S］.北京:中國質(zhì)檢出版社，2013.

［3］中國計量測試學會壓力計量專業(yè)委員會.壓力測量不確定度評定實例［M］.北京:中國質(zhì)檢出版社，2012.