21世紀美國基礎教育數學課程改革與啟示

岳增成，張維忠，田 晨

（浙江師范大學 教師教育學院，浙江 金華 321004）

21世紀美國基礎教育數學課程改革與啟示

岳增成，張維忠，田 晨

（浙江師范大學 教師教育學院，浙江 金華 321004）

美國在21世紀初頒布了3個具有影響力的基礎教育數學課程改革文件，這些課程改革文件表現出了將課程內容作為基礎教育數學課程改革的重點，逐漸提升基礎知識和基本技能在數學教育中的重要作用；重視教師教育，將課程內容與教師專業成長相聯系；注重各方的積極參與，提升課程改革文件的可信度等特點．其給中國數學課程改革帶來的啟示主要有：注重課程內容改革；數學教師培訓應該以文本形式提出；課程改革應為全社會所接納等．

美國基礎教育；數學課程改革；啟示

數學在當今社會中發揮的作用越來越大，各個國家已深刻地認識到了這一點，比如在中國《義務教育數學課程標準（2011年版）》的“前言”部分就明確提出“數學與人類發展和社會進步息息相關，隨著現代信息技術的飛速發展，數學更加廣泛應用于生產和生活的各個方面”[1]，在美國《成功的基礎——全美數學顧問小組最終報告》的“背景”部分也給予了明確說明“引導社會發展需要數學能力，數學能力會給國家帶來發展優勢……以及在分析過去失敗和預測未來發展的能力等方面帶來優勢”[2]．基于這樣的認識，各個國家都試圖進一步發揮數學的重要作用．而數學教育作為培養學生數學能力的主要途徑，勢必會受到更多的重視．事實也證明了這一點，當前各個國家都積極地進行數學教育改革，特別是基礎教育數學課程改革，以使自己的數學教育培養出更多具備競爭力的勞動者來應對21世紀的挑戰．美國作為世界教育強國也積極地進行數學教育改革，特別是進入21世紀，改革的步伐逐漸加快，先后頒布了3個具有世界影響力的基礎教育數學課程改革文件，即《幼兒園學齡前到八年級數學課程焦點：追求一致性》[3]（以下簡稱“課程焦點”），《成功的基礎——全美數學顧問小組最終報告》[4]（以下簡稱“成功的基礎”）、《美國州共同核心數學標準》[5]（以下簡稱“核心數學標準”）．這里試圖通過對這3個課程改革文件的梳理，挖掘出美國基礎教育數學課程改革的特點，同時對中國數學課程改革提出建議．

1 21世紀美國基礎教育3個具有世界影響力的數學課程改革文件

1.1 課程焦點

進入21世紀，美國的數學教育在2000年全美數學教師理事會（National Council of Teachers of Mathematics，簡稱NCTM）《學校數學的原則和標準》的影響下，教育質量不但沒有實質性的提高，反而在課程、教材、教學等方面都出現了一些嚴重的問題，導致學生的學業成績下降，這也使得以數學家為代表的對NCTM制定的一系列標準持反對意見的“保守”陣營的抵觸情緒更加高漲，甚至發表了討伐檄文《關于數學教育的十大神話，以及你為什么不該信》對進步主義所倡導的一些理念進行反駁，并導致“數學戰爭”愈演愈烈．然而這樣的爭論是不具建設性的，任何數學教師和數學家都清楚，學生既需要扎實的基本技能，也需要概念性理解與問題解決能力[6]．這也使得對擬合沖突具有奠基性作用的論文《尋求K-12：數學教育共同基點》應用而生．在此論文中，沖突雙方的代表人物共同探討了數學教育的爭議問題，梳理出了一些教育共識．但僅僅擬合沖突是不夠的，數學教育必須落實到改善學生的學習成績上來，NCTM也深刻地認識到了這一點，并與2006年9月發布了“課程焦點”這一報告，為“數學戰爭”畫上了“圓滿”的句號．

“課程焦點”報告圍繞“什么是課程焦點”“如何確定課程焦點”以及“怎樣使用課程焦點”展開，在敘述此部分內容之前，報告指出了“現行數學課程存在的主要問題是缺少連貫性和一致性，同時美國數學課程的深度不夠，各州課程內容范圍差異過大”[7]等現行數學課程的不足，即此報告的研制背景，闡明了“課程焦點”“可以使教師每年有更多的時間對額外的數學課程重點加以研究，學生也有機會對題目進行更深入地探索和研究，對相關的數學應用也會有興趣，這樣就能夠促進學生加深對數學的理解”[7]的重要性．那么此報告是如何敘述此部分內容的呢？對于什么是課程焦點的敘述比較簡單，即“課程焦點是從幼兒園學齡前到八年級的每個年級學生所需要學習的重要的數學知識的主題”．對于如何確定課程焦點，此報告首先明確了哪些主題有成為課程焦點的可能，即從NCTM《學校數學原則與標準》中抽取若干與問題解決、推理與證明、交流、關聯及表征等過程性目標緊密相連的相關數學內容主題，然后確定了課程內容的選取標準，即該要點在數學領域是否很重要，并且在學校內外是不是既具有應用價值，同時能為進一步的數學學習打下基礎；該要點是否適合作為數學課程學習；該要點能否很有邏輯地銜接前面年級和后面年級的數學學習．最后通過這樣的選取標準的篩選，從相關數學內容主題中選取出課程焦點．在此報告中，課程焦點按年級呈現，每個年級包含數與運算、測量、代數、幾何等領域的3個焦點，每個焦點的陳述又由焦點本身和解釋課程焦點的“連接”構成．另外，每一個年級的課程焦點不是孤立的，而是緊密聯系的，前一個年級的是后一個年級的前提，后一個是前一個的延伸，體現出“課程焦點”連貫性與一致性的特點．對于怎樣使用課程焦點，由于課程焦點只規定了“教什么”，而沒有涉及到“如何教”的問題，所以課程焦點鼓勵職前教師的準備和在職教師的專業發展．

1.2 成功的基礎

“成功的基礎”是由全美顧問小組（National Mathematics Advisory Panel，簡稱NMAP）于2008年3月頒布的．此報告的整個研制過程圍繞兩個核心問題展開：一是數學教育傳授機制內部各組成部分；二是代數領域．為什么要圍繞傳授機制內部的各組成部分？這與美國數學教育傳授機制內部各組成部分存在著嚴重的問題有著密切的關聯．NMAP在報告研制初期，經過調研發現美國數學教育的傳授機制——將數學知識轉化為下一代的價值和能力的機制——存在著嚴重的問題，而這些問題表現在傳授機制內部的方方面面，這直接導致了美國的數學教育達不到國家的發展要求，也不能實現國家的價值理念．基于這樣的認識，NMAP進一步的調查發現“我們擁有確確實實的機遇來改進我們的數學教育”，并列出了涉及傳授機制內部各方面——課程內容、學習過程、教師和教師教育、教學實踐、教學材料、評估、教育研究的政策與機制——“幼兒園至八年級的數學課程需要一體化發展，低年級的課程內容應該突出一整套經過精心設計的、關鍵性問題”“國家教育進展評估和州一級的教育評估需要改進評估質量，并且需要加強對與代數相關的最重要的知識和技能進行評估”等7項期望后續采取的行動．以此為指引，NMAP明確了涉及傳授機制內部各方面的“學校代數應該包括哪些必不可少的內容？學生在接觸代數前應該具備哪些知識？”等6項研究內容，并最終得到了針對這6項研究內容的研究成果和建議．

數學課程內容包含數與代數、空間與幾何、概率與統計等部分，為什么此報告只涉及了代數領域？這主要與代數學習的重要性“高收入的人學習代數多，說明未來就業和學生學習代數的多少有密切關系”“美國已經很多年沒有平行公理這樣的內容了．但是，人們似乎沒有多大的抱怨．可能是不會做平面幾何證明，對大學學習微積分、線性代數、概率論影響不大．可是，代數運算不行，理工科大學生就沒法讀下去”[8]等有著直接的聯系．基于對學校代數學習重要性的認識，“成功的基礎”聚焦“代數基礎”、提前滲透代數概念和思想[9]，對于如何聚焦“代數基礎”，這從整個報告涉及的課程內容只有代數可見一斑．此外，報告還列出了有關“代數基礎”的“學校代數核心主題”、“關鍵基礎知識”及其基準，并要求將這些主題和基準應用于數學教育的各個方面．對于如何提前滲透代數的概念和思想，報告推翻了數學知識的學習與年齡有關的理論，并要求以非形式化的方式逐漸進行滲透．

1.3 核心數學標準

盡管進入21世紀，美國進行了一系列的基礎教育數學課程改革，但是數學教育質量仍然沒有大的起色，這引起了聯邦政府的高度重視，各州和各階層也進行了深刻的反思，他們認為美國的數學教育質量之所以沒有實質性的提高與各州課程標準不一、各州學生數學成績評價標準不一有著直接的關系，這就促使美國的數學課程改革朝著統一課程標準的方向發展．“核心數學標準”就是在這一背景下產生的．

“核心數學標準”是由全美州長協會最佳實踐中心（the National Governors Association Center for Best Practices, NGA Center）與州首席教育官員理事會（The Council of Chief State School Officers, CCSSO）合作研制，于2010年6月發布的，旨在讓全美學生進入大學前，每年級的學習均接受相同的數學教育標準，為學生的大學學習和就業做準備[10]．“數學核心標準”主要包含兩部分內容，數學實踐標準和數學內容標準，這兩個領域的標準是在“更加精簡、更加明確、更高標準”“與大學與就業對學生的要求相一致”等原則下制定出來的，具有較高的科學性．在實踐標準方面，“數學核心標準”闡述了各年級學生應該發展的各種專業知識與實踐能力，并開發出8項指標作為評價基準，即理解問題，并堅持不懈地解決問題；推理的抽象性與數量化；構建可行的論斷，質疑他人的推理；數學模型；策略地使用恰當工具；注意精確性；探求并利用結構；在重復的推理中，探求并表達規律．在內容標準方面，“數學核心標準”首先列出了每一年級教學焦點，然后分層次呈現了各年級的內容，其中第一層次為課程內容領域，比如5年級有運算與代數思維、數與十進制運算、數與運算——分數、度量與數據、幾何等5部分；第二層次為第一層次下放到每一個年級需要掌握的知識點，比如5年級的幾何領域，有兩個重要知識模塊：通過坐標平面上的點來解決實際問題和數學問題，根據二維圖形的性質分類；第三層次為第二層次的進一步細化，包括知識點和利用實例對知識點進行解讀．其中，第二、三兩個層次與實踐標準進行了融合，力圖使學生在掌握課程內容的同時，實現實踐標準．

2 21世紀美國基礎教育數學課程改革的特點

（1）將課程內容作為基礎教育數學課程改革的重點，逐漸提升基礎知識和基本技能在數學教育中的重要作用．

21世紀初，美國數學基礎教育的“鐘擺”繼續在以數學家為代表的“保守”陣營堅持的“重視基礎”的觀點與以數學教育家為代表的“進步”陣營堅持的“強調理解”的觀點之間擺動，但隨著“數學戰爭”的終結，“進步”陣營所偏重的“教學法”的要求在基礎教育數學課程改革中的受重視程度逐漸減弱，而“保守”陣營重視課程內容改革的要求受到了越來越多的重視．這在一定程度上反映出了美國21世紀基礎教育數學課程改革的趨勢——將課程內容的改革作為重點，這也在美國進入新世紀以來頒布的3個基礎教育數學課程改革文件中得到了很好地展現．比如，“課程焦點”是一個只關注教師教什么和學生學什么的報告，對于教師如何教學，沒有具體的說明；“成功的基礎”涉及到了教學機制內部的方方面面，既闡述了課程內容方面的成果和建議，也包含了教學實踐方面的成果和建議，但由于此報告僅僅圍繞代數這一內容領域展開，這就奠定了代數這一課程內容領域在此報告中的主體地位；“核心數學標準”是由數學實踐標準和數學內容標準構成的，其中各年級的數學內容的呈現與數學實踐標準結合在了一起，這也就表明了課程內容是此報告的重點．重視課程內容，將數學課程改革的方向轉向課程內容改革，也使得課程改革關注的主體由教學法的實施者——教師轉向了教師與學生的中介橋梁——課程內容，使得課程改革更加靠近學生群體，很自然地體現出了“學生為本”的理念．

課程內容是連結課程理念與教學實踐的橋梁，教師通過教學內容的處理，才能將課程理念轉化為真正的教學實踐，才能進一步實現數學教育的目標，這就表明課程內容的設計受到多方面的制約，其中課程理念是重要的一個．美國新世紀的數學教育在“數學戰爭”和亞洲國家在數學教育成功經驗的影響下，由原先的只注重理解向著既注重理解又強調基礎知識的掌握和基本技能的獲得的方向轉變，這也決定了美國21世紀初數學教育改革的走向：在理解的基礎上，尋求學生基礎知識和基本技能方面的發展．這一走向也在美國基礎教育數學課程的文件中得到了很好地體現．“課程焦點”“成功的基礎”等不僅在課程理念中明確提出了“讓學生通過這些核心概念與技能來發展自己的學習經驗，并提供診斷學習困難、即時干涉的機會，以促進學生對重要數學知識的深刻理解”[11]“為了使學生們做好學習代數的準備，課程必須同時發展學生概念理解、熟練運算與問題解決3方面的能力”“數學理解和程序技能同等重要”，還在課程內容的闡述過程中運用了快速回憶、“達到熟練自動化的程度”“能夠靈活、準確、熟練地運用相關運算法則”等與理解“相悖”的、在以前課程文件中不曾出現過的語句．

（2）重視教師教育，將課程內容與教師專業成長相聯系．

課程理念的更新，課程內容的變化，給教師的數學觀、數學教育觀、數學教學觀等帶來了很大的沖擊，也給教師的數學教學帶來了很大的挑戰．為了應對這些沖擊和挑戰，教師除了自身的努力外，更需要專業的教師教育．美國21世紀的基礎教育數學課程改革重視教師教育，這在美國的數學課程改革文件中有所體現，在“課程焦點”中，“基于課程焦點的有效教學，需要職前教師深入的準備，更需要在職教師持續的專業發展”；在“成功的基礎”中有一章來敘述教師和教師教育；“核心數學標準”中雖然沒有關于教師教育的內容，但是美國已經由州際教師評估與支持聯合會發布了《核心教學示范標準》，該標準涵蓋適用于各學科教師應具備的核心教學知識和技能，旨在為教師專業實踐提供一個基本框架，幫助學生為未來職業做準備[12]，在數學教師教育方面，美國尚未有新的標準出臺，但是，從結構上看，CCSSM（《美國州共同核心數學標準》的英文簡稱）文本的頒布是個起點，與之配套的測量評價標準……包括教師專業發展系統（如教師培訓的模式、內容）……的建立等有待逐一完成[13]．除了重視教師教育外，美國數學教師的專業成長還與課程內容緊密聯系在了一起，特別是在“成功的基礎”中，除了展示教師和教師教育的成果和建議外，比如更好地進行教學需要教師具備一定的知識和技能，還規定了各個階段教師應掌握的“關鍵基礎知識”的深度．

（3）注重各方的積極參與，提升課程文件的可信度．

美國以往數學課程改革文件的制定雖然受到各方因素的制約，但制定者往往局限于某一群體，例如《學校數學的原則和標準》是由NCTM開發的，而同一群體的成員往往有著相同或不沖突的理念或價值體系，這就使得由單一群體制定的課程文件打下了這一群體的“烙印”，較難融合其它群體的觀念，這極易導致其它群體的攻擊，特別是當單一群體制定的課程改革文件在實踐中出現問題時，受到的非議將會更加猛烈，“數學戰爭”就是典范．這就要求基礎教育數學課程改革要注重各方的積極參與，聽取不同的聲音．美國21世紀的基礎教育數學課程改革就吸取了這方面的經驗教訓．比如，“課程焦點”雖然是由NCTM開發的，但是研制成員包含了數學家這一群體；“成功的基礎”的研制成員更加廣泛，不僅有數學教育家，還有數學家；不僅包括具有較高知識水平和研究能力的大學教授，還包括知識水平和研究能力相對低下的中小學教師；不僅包括校內成員還包括基金會、公司成員．這就使得各個課程改革文件有著較高的可信度．然而，這并不能保證各個課程改革文件的可信度．各個課程文件的制定者還采用了一些別的途徑來提升報告的可信度．比如，為了從眾多主題中選取課程標準，NCTM確立了3條選取標準；NMAP為了提供最適用之科學研究證據，專門設置了“證據”標準委員會，負責確定此項研究的標準，并對每一個任務組提出研究的要求[14]．

3 對課程改革的啟示

美國“課程焦點”、“成功的基礎”、“數學核心標準”的制定是對美國教育的一次重大突破，打破了地方分權的教育管理體制，從3個課改文件的調研分析到文本的最終形成，對中國課改有著很多有益的啟示．

3.1 注重課程內容改革

無論數學課程的理念是什么，對數學、學習、教學等的解讀又是什么，只有滲透到課程內容中由教師傳遞給學生，才能發揮出應有的價值與意義，這就決定了課程內容的重要性．美國的數學課程改革重視課程內容的改革，除了對課程內容的選取有嚴格規范的標準外，比如“課程焦點”規定了3條課程內容的選取標準，還對課程內容的組織有著合理的結構，比如“成功的基礎”針對“代數基礎”開發了“學校代數核心主題”“關鍵基礎知識”及其基準等．

中國也比較注重數學課程內容的改革，史寧中、許芬英等人已對《義務教育數學課程標準（2011年版）》課程內容的調整變化進行了介紹[15~16]．然而，中國的數學課程內容仍然存在著很多問題，比如“削枝強干”中的“干”具體所指內容還不夠清晰，減負不能依靠過度“削枝”[17]．這些問題的出現與中國對課程內容的選取沒有嚴格規范的標準，對課程內容的組織沒有合理的結構有著密切的聯系．比如在課程內容的選擇上，只是泛泛而談，要求“要貼近學生實際，有利于學生體驗和理解、思考與探索”[1]．這就需要研究者設計出嚴格規范的選取標準，并通過合理的組織安排，使中國的數學課程內容更加嚴謹規范，發揮好橋梁紐帶的作用．

3.2 數學教師培訓應該以文本形式提出

伴隨各課改文件的頒布，教師教育也作為一項重要的內容寫進了此次改革．這樣做的目的在于讓數學教師的專業知識緊跟課程改革的步伐，做到教師的理念和觀念都適應新的課程．從個人理解不同的角度上來說，以統一文本規定的數學教師應該具備的專業知識還能解決不同教師對應該理解的數學知識認知不同的問題，做到在具體統一的基礎上差異化地理解．

中國對于數學教師教育的方式有職前的培訓，入職后的培訓，以及各學校或地方之間的講課競賽．這幾種數學教師教育的方式，培訓內容都是依據培訓的目和當地的實際情況而定的，而對于數學教師教育的專業知識培訓沒有統一的教材，甚至沒有統一的標準．數學教師專業知識沒有統一標準的問題使一線教師對課改后數學知識的整體把握有了一定的難度．一些教師不肯放棄課本原有知識，不接受新的課程編排的知識，或者有的教師在對新舊知識的難度上把握不到位，都會引起不同的教學傾向．

面對這樣的問題，美國各課程改革文件為中國學者提供了一個很好的借鑒方法．即在頒布數學課程標準的同時，明確地提出由此產生的數學教師教育教材．統一的數學教師教育教材是為了所有的數學教師對新的數學課程標準的認識有相同的起點，對數學知識有整體全面的把握．統一的數學教師教育教材并不排斥不同教師對于課程標準中數學專業知識的不同理解，而是在整體全面把握的基礎上，尋求對課程標準中數學專業知識的深層理解．

3.3 課程改革應該為全社會所接納

美國此次的改革是自下而上的民間發起的一次改良運動，主動性較大．參與各課改文件制定的人員更是涉及到了教育以及教育以外的人士．而課程標準也是在征求來自全美各地的教師、學生家長、學校行政人員、民權領袖、教育決策者、商界領袖和其他人士的基礎上，制定而成的．民眾的認同是課程改革最大的支持，通過對課程以及學生學習狀況的了解，結合未來就業所需的專業知識，家長和社會可以更清晰地看到學生在學校應該學習什么，應該摒棄什么，也是通過這些對原有的教育理念提出更多的可行建議．未來的人才是向社會提供的，只有社會最清楚他們想要什么樣的人才．社會人士的參與，為人才培養提供方向．民眾的廣泛參與可以推動課程改革，這些人員的廣泛參與，說明了這些課程文件制定的自發性和主動性，這樣的全民參與有助于教育改革．

縱觀中國課程改革，首先是自上而下的．參與人員多是教育研究者，中小學教師等．而家長對課程知之甚少，教師夾在研究者和家長需求的中間，即研究者需要教師從教育的理論層面出發，以培養學生能力，方法和積極的態度為重，而家長對教育改革的理念不聞不問，只是一味的要求學生分數第一．在這樣的情況下，教師對新課改的理念要求落實的方法總是舉棋不定．很多課改的方法也流于形式．這種被動的態度很大程度上阻礙了課程改革的步伐．

因此，在這一方面，中國應該在各課改文件制定的過程中，讓社會各界人士都參與到課程改革上來．社會各界的參與一方面為數學教育提供了人才培養的方向，另一方面，數學教育也可以為社會其它產業提供資源．

[1] 中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2011年版）[M]．北京：北京師范大學出版社，2012．

[2] 全美數學顧問小組．成功的基礎——全美數學顧問小組最終報告[J]．趙中建，朱鵬譯．全球教育展望，2008，（7）：64-72．

[3] NCTM. Curriculum Focal Points for Prekindergarten through Grade 8 Mathematics: a Quest for Coherence [W]. http://www.nctm.org, 2006-11-16.

[4] Press Release, President Establishes National Mathematics Advisory Panel [Z]. April 18,2006,http://www.ed.gov/news/ pressreleases/2006/04/04182006a.html.

[5] NGA, CCSSO. Common Core State Standards for Mathematics [EB/OL]. http://www.corestandards.org/the standards/ mathematics, 1-93.2010-03-06.

[6] 李祎．從“課程標準”到“課程焦點”——近20年美國數學課程發展及其啟示[J]．外國中小學教育，2007，（7）：20-24．

[7] 馬健生，苑大勇．《從先學前班到8年級的課程焦點：追求連貫性》報告述評[J]．全球教育展望，2008，（7）：64-72．

[8] 張奠宙，李旭輝．《成功需要基礎》給我們的啟示[J]．數學教學，2008，（9）：9-11．

[9] 東洪平，張維忠．美國《成功的基礎》評介及其對數學課程改革的啟示[J]．數學教育學報，2011，20（5）：74-76．

[10] 廖運章．美國《州共同核心數學標準》的內容與特色[J]．數學教育學報，2012，21（4）：68-72．

[11] 童莉，黃翔．尋求課程的一致性——對美國數學課程焦點的分析與思考[J]．數學教育學報，2007，16（3）：79-82．

[12] 蘇紅．美國州際教師核心教學標準及其特征[J]．世界教育信息，2012，（1）：21-26．

[13] 曹一鳴，王立東，Paul Cobb．美國統一州核心課程標準高中數學部分述評[J]．數學教育學報，2010，19（5）：8-11．

[14] 王尚志，高凱博．成功的基礎(1)——介紹美國數學教育顧問委員會的報告[J]．數學通報，2009，（5）：17-20．

[15] 史寧中，馬云鵬，劉曉玫．義務教育數學課程標準修訂過程與主要內容[J]．課程·教材·教法，2012，32（3）：50-56．

[16] 許芬英．新課標，呼喚課堂教學的實質性改變[J]．中學教研（數學），2012，（4）：1-5．

[17] 朱黎生．《義務教育數學課程標準（2011年版）》修訂了什么[J]．數學教育學報，2012，21（3）：7-10．

G633

：A

：1004–9894（2014）01–0084–04

2013–10–05

教育部2010年人文社會科學一般項目——多元文化數學課程的理論與實踐研究（10YJA880179）

岳增成（1988—），男，山東濰坊人，碩士生，主要從事數學課程與教學論研究．張維忠為通訊作者．